Zufälligkeit in der Theorie der Gleichverteilung

Viele naturliche und technische Systeme weisen zufalliges Verhalten auf. Die Wahrscheinlichkeitstheorie liefert die Werkzeuge um dieses Verhalten zu analysieren und um Vorhersagen zu machen. Uberraschenderweise zeigen aber auch organisierte und eindeutig festgelegte mathematische Strukturen oft zufalliges Verhalten. So folgt beispielsweise die Verteilung der Primzahlen innerhalb der naturlichen Zahlen einem zufalligen Verhalten: wir konnen mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitstheorie recht genau vorhersagen wie viele Primzahlen sich in einem bestimmten Bereich befinden, ohne sie tatsachlich exakt zu zahlen. Das Ziel dieses Forschungsprojekts ist es, mathematische Strukturen zu identifizieren die zwar deterministisch konstruiert sind, aber trotzdem zufalliges Verhalten zeigen. Die feinen statistischen Grundlagen zu verste- hen, die solche Systeme beschreiben, hilft uns dabei einige ihrer wichtigsten und stabilsten Eigenschaften zu verstehen. Der springende Punkte dabei ist dass uns dieser statistische Zugang oft hilft, eine meist hoffnungslos kompli- zierte algorithmische Untersuchung zu vermeiden. Zufalliges Verhalten kann man schon bei außerst einfachen Systemen beobachten. Dazu gehort etwa die Rotation eines Kreises um einen irra- tionalen Winkel. Die statistischen Eigenschaften dieses Systems hangen auf erstaunlich tiefgehende Weise von den zahlentheoretischen Eigenschaften des Winkels ab - hier gibt es noch immer viele ungeloste Fragen. Wir wollen ver- suchen, kompliziertere Systeme zu entwickeln in denen zahlentheoretische Aspekte das Langzeitverhalten des Systems steuern. Dieses Forschungsge- biet, das sich im Schnittbereich von Zahlentheorie, Analysis und Wahrschein- lichkeitstheorie befindet, hat in letzter Zeit intensive Beachtung erfahren. Ein anderes einfaches System sind trigonometrische Produkte. Diese spielen eine Rolle in verschiedenen Gebieten wie beispielsweise numerische Analysis, Zahlentheorie, Knoten-Theorie und Quantenphysik. Diese verschie- denen Gesichtspunkte machen trigonometrische Produkte zu einem idealen Forschungsobjekt, und bieten eine Vielzahl an Methoden um starke Resulta- te zu erzielen. Sie bieten eine Moglichkeit um mehrere fundamentale offene Probleme aus der Theorie der Quanten-Knoteninvarianten zu verstehen, wie etwa deren Invarianz unter Mobius-Transformationen oder anderen wichti- gen Transformationen. Das letzte Ziel des Projekts ist es, solche Systems in einem abstrakten Set-Up zu untersuchen, wie etwa auf sogenannten Riemannschen Flachen. Die mathematischen Objekte, die auf solchen Flachen leben, kann man in gewisse schwingende Komponenten zerlegen - in Analogie zu der Art und Weise wie man Tone (z.B. Violinmusik) in verschiedene Frequenzbereiche zerlegen kann. Die Schwingungsbestandteile enthalten viele wichtige Infor- mationen uber das Objekt selbst. Das Ziel des Projekts ist es hier, mithilfe der harmonischen Analysis einen universellen Zugang zu zufalligen sowie deterministischen Systemen auf abstrakten Raumen zu finden.

Das Hauptziel dieses Projekts war es, ein tieferes Verständnis vom zufälligen Verhalten mathematischer Strukturen zu erhalten, was erklären kann, warum Zufälligkeit in der Natur und in bestimmten künstlichen Systemen auftritt. Die Werkzeuge der Wahrscheinlichkeitstheorie sind dazu in der Lage, Vorhersagen über das robuste Verhalten eines Systems zu treffen, ohne ein detailliertes Verständnis der Einzelheiten zu haben. Wir arbeiten mit einem System, das in Termen einer irrationalen Zahl definiert ist, für das wir Ergebnisse über die Eintrittswahrscheinlichkeit bestimmter Extremereignisse in einem Bereich erhalten, in dem das System atypisches Verhalten zeigt. Diese Resultate verbinden die Felder der dynamischen Systeme und der Zahlentheorie mit der Extremwerttheorie und der Wahrscheinlichkeitstheorie. Ein Schlüsselelement war es, die exakte Verteilung der zahlentheoretischen Eigenschaften der besten Approximation zu einer zufälligen reellen Zahl zu finden. Wir haben auch weitere Beispiele gefunden, bei denen die Statistiken des Systems empfindlich gegenüber den arithmetischen Eigenschaften des irrationalen Parameters sind. In einer bedeutsamen Arbeit im Jahr 2010 fand Zagier heraus, dass die topologischen Eigenschaften von Knoten durch spezielle trigonometrische Produkte beschrieben werden, und stellte einige wichtige Vermutungen darüber an. Wir haben eine dieser Vermutungen bewiesen, was insbesondere zu einem besseren Verständnis des zufälligen Verhaltens von trigonometrischen Produkten führte. Wir verbinden darüber hinaus das von Zagier entwickelte Framework, welches 'quantum modular forms' genannt wird, mit dem mathematischen Feld der Ergodentheorie. Weiters haben wir Punktmengen auf kompakten Räumen studiert, in denen sich die Punkte abstoßen, wobei Letzteres durch das Verhalten fermionischer Partikel in der Physik und den Eigenwerten von zufälligen Matrizen inspiriert ist. Wir haben das zufällige Verhalten solcher Punktmengen durch einen Ansatz aus der harmonischen Analyse ermittelt, bei dem Funktionen in oszillierende, wellenartige Komponenten zerlegt werden, ähnlich wie Musiktöne in ihre Obertöne zerlegt werden. Dieser Ansatz wird sehr wahrscheinlich zu weiteren Fortschritten in diesem Gebiet führen und als einheitlicher Rahmen in der Gleichverteilungstheorie dienen.