Diophantine approximation and special sequences

Die Theorie der Diophantischen Approximation ist ein klassisches Gebiet der Zahlentheorie und behandelt die Approximation von reellen Zahlen durch rationale (bzw. algebraische). In den letzten Jahren ist dies ein sehr aktives Gebiet der Zahlentheorie mit Anwendungen für Zufallszahlen und Diophantische Gleichungen geworden. Es gibt auch viele interessante offene und ungelöste Problemstellungen. In diesem Projekt sollen drei bekannte Fragestellungen der Diophantischen Approximation behandelt werden. Die erste bezieht sich auf das Studium von Approximationseigenschaften von Zahlen mit speziellen Kettenbruchentwicklungen. Hier hat es kürzlich große Fortschritte gegeben. So wurden etwa Gegebeispiele zu Vermutungen gefunden, die eigentlich als richtig eingestuft wurden. Die zweite Fragestellung kann so formuliert werden: ist die Folge der Dezimalstellen der Potenzen einer rationalen Zahl gut verteilt, d.h., verhält sie sich etwa wie eine Zufallsfolge? Die dritte, die Littlewood-Vermutung, bezieht sich auf die simultane Approximation von zwei reellen Zahlen durch rationale Zahlen mit demselben Nenner. Die letzten beiden Probleme werden als sehr schwer eingestuft, und es gibt darüber noch nicht sehr viele Resultate, obwohl gerade in der letzten Zeit ein gewisser Fortschritt zu verzeichnen ist. Es ist geplant, neue Methoden zu entwickeln und einzusetzen, um Teillösungen zu erzielen, etwa metrische Resultate für die Hausdorffdimension. Anwendungen solcher Resultate wären auch Diskrepanzabeschätzungen spezieller Folgen.