Discretizations of nonlinear parabolic equations

Ziel des Projekts ist die Untersuchung numerischer Verfahren zur Lösung nichtlinearer parabolischer Differentialgleichungen. Diese Gleichungsklasse umfasst insbesondere den p-Laplacian, welcher in verschiedensten technischen Anwendungen eine wichtige Rolle spielt - von der Modellierung von Diffusionsprozessen in porösen Medien bis hin zur Bildverarbeitung. Alle diese Probleme können nur numerisch gelöst werden. Zur Entwicklung von leistungsfähiger Software ist ein tiefes theoretisches Verständnis der Approximationseigenschaften der verwendeten numerischen Verfahren nötig. In meiner Dissertation mit dem Titel "Diskretisierung nichtlinearer dissipativer Evolutionsgleichungen" habe ich mich vor allem mit der Zeitdiskretisierung derartiger Gleichungen in einem voll nichtlinearen funktionalanalytischen Framework befasst. Als Hauptresultat konnte ich nachweisen, dass algebraisch stabile Runge-Kutta-Verfahren und A-stabile Mehrschrittverfahren bei dieser Gleichungsklasse dieselben Konvergenzordnungen zeigen, wie bei steifen gewöhnlichen Differentialgleichungen, nämlich Stufenordnung für Runge-Kutta Verfahren und volle Ordnung für Mehrschrittverfahren. Dieses Ergebnis verbesserte in signifikanter Weise die aus der Literatur bekannten Resultate, welche entweder zu pessimistisch waren (es wurden kleinere Ordnung bewiesen, als in numerischen Versuchen beobachtet) oder nicht auf voll nichtlineare Gleichungen anwendbar waren. Erklärtes Ziel des Projekts ist es, diese Untersuchungen weiterzuführen und mit Raumdiskretisierungen (Galerkinverfahren oder Finite-Differenzen-Verfahren) zu kombinieren. Ein methodischer Ansatz des Projekts besteht darin, das von mir verwendete Framework mit jenem der Innsbrucker Gruppe um Ostermann zu verbinden, um für gewisse Teilklassen von Problemen schärfere Resultate zu erhalten, beziehungsweise um bestehende Resultate auf größere Klassen von Problemen und Verfahren auszudehnen. Weiters soll dies mit der horizontalen Linienmethode (Rothe-Verfahren) kombiniert werden. Vorläufige Untersuchungen von Volldiskretisierungen (Runge-Kutta-Verfahren in der Zeit, Galerkinverfahren im Raum) zeigen, dass der gewählte Ansatz ein großes Potential besitzt. Obwohl das Projekt in erster Linie darauf abzielt, neue theoretische Resultate zu erhalten, beinhaltet es auch einige medizinische und technische Anwendungen.