Finite Extensions of Free Profinite Groups

Von 1996 -- 2000 gab es eine durch den Wissenschaftsfond gestützte Zusammenarbeit von P.A.Zalesskii (Weiss russische Akademie der Wissenschaften jetzt UNB Brasilia) einem mittlerweile führenden Experten auf dem Forschungsgebiet des Projekts und dem Referenten. Erlauben Sie mir im Folgenden eine eher dem Höhere-Algebra-Laien gewidmete Erklärung des Projektinhalts und seiner Ergebnisse zu geben. Um anschaulich zu beginnen wenn jemand ein wirres Knäuel vor sich hat bei dem Anfang und Ende zusammengeknotet sind fragt er sich ob man es abwickeln kann ohne dass sich Knoten und Schlingen bilden die man nicht lösen kann. Das Beispiel ist sicher ein wenig kindisch aber man denke etwa an die Frage von Leiterbahnen auf einer Platine die einander nicht kreuzen dürfen. Ein Ansatz ist es den 3-dimensionalen Raum ohne Knäuel zu betrachten. Das ist dann ein topologischer zusammenhängender Raum. Seine Fundamentalgruppe besteht aus geschlossenen Wegen die in einem festen Punkt beginnen und enden. Hintereinanderdurchlaufen ergibt eine Art Multiplikation. Danach erlaubt man noch zwei Wege als gleichartig anzusehen wenn man den einen in den anderen innerhalb des Raumes verformen kann ohne das Knäuel zu durchkreuzen. Mit der erwähnten Art von Multiplikation entsteht die algebraische Struktur einer Gruppe der Fundamentalgruppe die um 1908 auch in "Osterreich etwa von W.Wirtinger und O.Schreier untersucht worden ist. Kennt man die algebraische Struktur der Gruppe so kann die Abwickelbarkeit des Knäuels entschieden werden. Nun zu unserem Projekt. Es ist weithin bekannt dass E.Galois 1832 den Gruppenbegriff erfolgreich auf das Lösen von Polynomgleichungen angewendet hat. Er hat als erster gezeigt dass man von den rationalen Zahlen ausgehend algebraische Erweiterungen konstruiert indem man die Wurzeln einer Polynomgleichung zu den rationalen Zahlen hinzufügt. Man bekommt somit einen sehr komplizierten aber wichtigen Erweiterungskörper und dieser besitzt eine Gruppe von Transformationen in sich selbst bei der jede rationale Zahl festgelassen wird seine (unendliche) Galoisgruppe. Deren algebraische Struktur ist bis heute nicht wirklich geklärt würde aber tiefe Einsichten selbst in Fragen der Approximation von Zahlen ermöglichen. Hier ist es wo unser Projekt eine algebraische Beschreibung einer sehr wichtigen Art von unendlichen Galoisgruppen liefert. Unsere Gruppen besitzen eine Untergruppe von endlichem $p$-Potenz-Index (wobei $p$ eine feste Primzahl ist) welche frei pro-$p$ ist d.h. sie hat ein System von Erzeugenden ohne Relationen. Gruppen dieser Art treten als Fundamentalgruppen im obigen Sinn) von aneinandergeklebten Räumen auf aber (in unserem Sinn) auch als Galoisgruppen von Erweiterungen sogenannter Funktionenkörper dessen einfachsten Fall die Menge aller Brüche wobei Zähler und Nenner jeweils ein Polynom sind ist. Man kann zeigen dass es im Falle des Funktionenk"orpers immer eine Art Riemannfläche gibt deren Fundamentalgruppe in sehr spezieller Weise als Untergruppe der (unendliche) Galoisgruppe interpretiert werden kann. Während nun für Fundamentalgruppen eine Charakterisierung durch H.Bass J.P.Serre U.Karras-A.Pietrowski-D.Solitar P.Scott und D.Cohen vorliegt hat unser Projekt ausgehend von Arbeiten von O.V.Melnikov und P.A.Zalesskii eine entsprechende algebraische Beschreibung für diese unendlichen Galoisgruppen angegeben.