Automatische Erzeugung von Zufallsvariablen

Die Erzeugung von Zufallsvariablen ist ein wichtiges Werkzeug für die stochastische Simulation. Schnelle Algorithmen für verschiedene Standardverteilungen sind wohlbekannt und werden von Simulationsanwendern häufig benutzt. Diese Algorithmen sind auch in verschiedenen Softwarebibliotheken vorhanden. Es ist aber kaum bekannt, daß in der Literatur auch automatische (manchmal universelle oder Black-Box genannte) Algorithmen vorgestellt werden. Diese Algorithmen sind für große Klassen von Verteilungen anwendbar, es ist nur notwendig ein paar Informationen über die Verteilung zu haben, etwa die Dichte und die Lage des Modalwerts. Der automatische Algorithmus benutzt diese Informationen, um alle notwendigen Konstanten zur Erzeugung von Zufallsvariablen aus dieser Verteilung im sogenannten Set-Up zu berechnen. Dann kann der Algorithmus Zufallszahlen aus der gewünschten Verteilung erzeugen. Natürlich sind die meisten automatischen Algorithmen etwas kompliziert aber sie haben große praktische Vorteile: Ein Algorithmus, der nur einmal programmiert und getestet werden muß, leistet das gleiche wie eine ganze Bibliothek von Algorithmen für Standardverteilungen. Wenn Zufallsvariablen von einer neuen Verteilung benötigt werden, ist es nicht notwendig, einen neuen Algorithmus zu entwickeln und zu programmieren. Es reicht zu überprüfen, ob die neue Verteilung die Eigenschaften hat, die der automatische Algorithmus voraussetzt, und die Dichtefunktion zu programmieren. Den Rest der Arbeit macht der automatische Algorithmus. Der Hauptteil der Forschung wird sich mit der relativ neuen Idee der "transformierten Dichte-Verwerfung" zur automatischen Erzeugung von Zufallsvariablen beschäftigen. Dabei wird die Dichte mit einer Transformation T in eine konkave Funktion transformiert. Es ist einfach für eine konkave Funktion eine dominierende zu konstruieren, indem man das punktweise Minimum von mehreren Tangenten verwendet. Diese stückweise lineare Funktion kann, zurücktransformiert mit der inversen Transformation von T, als dominierende Funktion (oder Hutfunktion) für Verwerfungsalgorithmen verwendet werden. Unsere Forschung in den letzten zwei Jahren hat gezeigt, daß die transformierte Dichte-Verwerfung eine sehr flexible Methode ist, die zur Entwicklung von verschiedensten automatischen Generatoren verwendet werden kann. Ein Hauptvorteil ist, daß die Methode sogar auf mehrdimensionale Verteilungen verallgemeinert werden kann. Die Hauptziele des Forschungsprojekts sind die folgenden: Für eindimensionale automatische Generatoren wird die optimale Wahl der Berührpunkte untersucht. Die Eigenschaften der Familie von T-konkaven Verteilungen wird erforscht und darauf basierend werden neue schnelle Algorithmen zur Generierung von Orderstatistiken entwickelt werden. Für mehrdimensionale Verteilungen wird der Hauptschwerpunkt die Entwicklung und Implementierung von automatischen Algorithmen für zweidimensionale und multidimensionale T-konkave Verteilungen sein. Es wird auch untersucht, ob eine Anwendung auf nicht T- konkave Verteilungen möglich ist. Ein anderes Ziel ist die Untersuchung der Qualität der Zufallsvariablen, die mit den neuen Algorithmen erzeugt werden. Bleibt die Qualität des verwendeten Gleichverteilungsgenerators erhalten? Gibt es Gleichverteilungsgeneratoren, die mit den neuen Algorithmen gut kombiniert werden können, und andere, bei denen die Qualität der Zufallsvariablen mäßig ist? Was macht man, wenn eine mehrdimensionale Verteilung für ein Simulationsmodell benötigt wird und (multidimensionale) Daten aber keine Idee, welche multidimensionale Verteilung genommen werden könnte, vorhanden sind? Ein Projektziel ist daher die Erzeugung von multivariaten Zufallsvariablen direkt aus den Daten. Vielleicht der wichtigste Teil des Projektes wird die optimale Implementierung der Algorithmen sein. Sie werden in einer C-Bibliothek gesammelt und mit ausführlicher Dokumentation versehen. Basierend auf diesen Arbeiten planen wir eine Monographie zu schreiben, die alle interessante Theorie zur automatischen Erzeugung von Zufallsvariablen enthält.