Dynamische Systeme

Um das Verhalten von diskreten dynamischen Systemen für rationale Funktionen in der komplexen Ebene analysieren zu können, ist eine möglichst gute Kenntnis der Julia-Menge, d.h. der Menge auf der sich die rationale Funktion chaotisch verhält notwendig. Einer der Hauptpunkte im Projekt war, wie man von Eigenschaften der zu iterierenden Funktion auf die Struktur der Julia Menge wie z.B. auf den Zusammenhang schließen kann. So konnten wir konstruktive notwendige und hinreichende Bedingungen angeben, die den Zusammenhang der Julia Menge von rationalen Funktionen garantieren. Weiters ist es uns gelungen eine explizite Darstellung derjenigen rationalen Funktionen zu geben, die einen Jordan Bogen als Julia Menge besitzen. Von besonderem Interesse sind Funktionen, die auf der ganzen Riemann Sphäre chaotisch sind. Wie bekannt ist, ist dafür hinreichend, daß alle kritischen Punkte der rationalen Funktion vorperiodisch sind. Auf Grund von theoretischen Untersuchungen wissen wir aber auch, daß die Klasse der Funktionen viel größer ist. Wir haben nun andere leicht nachprüfbare Kriterien gefunden und auch noch gezeigt wie man mittels Hintereinanderausführung daraus große Klassen von Funktionen generieren kann, die diese Eigenschaft besitzen. Viele dynamische Systeme wie zum Beispiel Toda Gitter, nichtlineare Schrödinger Gleichung oder KdV Gleichung lassen sich oft explizit oder näherungsweise mithilfe von orthogonalen Polynomen lösen. Dabei stehen in neuerer Zeit solche dynamische Systeme im Vordergrund, deren Spektrum nichtzusammenhängend ist, zum Beispiel aus mehreren Intervallen oder aus einer Cantor Menge etc. besteht. Aus diesem Grunde ist man sehr an asymptotischen Darstellungen von Polynomen, die auf solchen Mengen orthonormal sind, interessiert. Mittels eines neuen Zugangs über Hardy Räume von charakter- automorphen Funktionen ist es uns gelungen, asymptotische Darstellungen von Polynomen, die auf sogenannten homogenen Mengen (die Cantormengen etc. umfassen) orthonormal sind, zu finden. Asymptotische Darstellungen wurden sowohl auf der Trägermenge als auch außerhalb der Trägermenge gefunden, woraus sich auch noch eine Asymptotik für die Rekurrenzkoeffizienten der Orthogonalpolynome ergeben hat. Mit einer gänzlich verschiedenen Methode (Methode der inversen Polynomabbildung) konnten auch Ergebnisse für Orthonormalpolynome auf Julia Mengen erzielt werden. Besonders einfach ist der Zusammenhang mit orthogonalen Polynomen im Fall der Toda Gitter. Hier lassen sich mittels der Flaschka Transformation die Partikel auffassen als Rekurrenzkoeffizienten von Orthonormalpolynomen. Somit stellt sich die Frage welche Orthogonalitätsmaße auf Toda Gitter führen. Indem wir anstatt des Orthogonalitätsmaßes die assozierte Stieltjes Funktion betrachteten, haben wir gezeigt, daß die Rekurrenzkoeffizienten genau dann Lösung einer Toda-Gleichung sind, wenn die Stieltjes Funktion Lösung einer Ricatti-Differentialgleichung ist.