Zeitdiskretisierung parabolischer Evolutionsgleichungen.

Forschungsprojekt P 13754Zeitdiskretisierung parabolischer EvolutionsgleichungenAlexander OSTERMANN11.10.1999 In den letzten Jahren haben nichtlineare parabolische Evolutionsgleichungen großes Interesse bei Mathematikern hervorgerufen, da diese Gleichungen zunehmend zur Beschreibung von Phänomenen aus verschiedensten Anwendungsbereichen verwendet werden. Als Beispiele seien hier die inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen aus der Strömungsmechanik, die Bellman-Gleichungen aus der stochastischen Kontrolltheorie, die nichtlineare Cahn-Hilliard Gleichung aus der Strukturbildung bei Phasenübergangen sowie die bei der Modellierung von Luftverschmutzung auftretenden Reaktions-Diffusionsgieichungen erwähnt. Ein Schlüsselproblem bei der numerischen Lösung solcher Gleichungen ist es zu bestimmen, wie gut die Dynamik des zugrundeliegenden Anfangswertproblemes von der Diskretisierung wiedergegeben wird. Die Antwort auf diese Frage hilft, aus Computersimulationen gewonnene Daten richtig zu interpretieren. Innerhalb der letzten Jahre hat sich clas Wissen über Stabilität und Fehlerschranken für Diskretisierungen linearer und semilinearer Probleme beachtlich vergrößert. Für nichtlineare Probleme sind bisher aber nur wenig Konvergenzresultate bekannt. Das vorliegende Projekt zielt darauf ab, Konvergenzresultate für Runge-Kutta Diskretisierungen nichtlinearer parabolischer Gleichungen zu erhalten. Ein neues analytisches Framework macht es möglich, Ideen aus dem semilinearen Fall zu verwenden. In einern ersten Schritt sollen Fehlerabschätzungen für glatte Lösungen hergeleitet werden. Diese Konvergenzschranken charakterisieren das Verhalten numerischer Approximationen bei Kurzzeitintegration sehr gut, können aber für sehr lange Zeitenintervalle ihre Aussagekraft verlieren, weil die auftretenden Konstanten möglicherweise exponentiell von der Länge des Zeitintervalles abhängen. In den vergangenen Jahren zeigte sich, daß Fehlerschranken für nichtglatte Anfangswerte ein wesenliches Mittel zum Studiurn des Langzeitverhaltens numerischer Verfahren sind. Deshalb sollen im Rahmen des Projektes Fehlerabschätzungen Mir nichtlineare Probleme mit nichtglatten Anfangswerten abgeleitet werden. Mit Hilfe dieser Fehlerschranken wird es möglich, das Langzeitverhalten numerischer Diskretisierungen zu studieren. Beispielsweise kann man die Approximation von invarianten Mengen untersuchen. Wir haben vor, diese Möglichkeiten auszuloten.

Nichtlineare parabolische Evolutionsgleichungen werden zur Modellierung von Diffusionsprozessen verwendet, welche beispielsweise bei der Strukturbildung von Phasenübergängen, in der Atmosphärenchemie und in der medizinischen Bildverarbeitung auftreten. Im Rahmen des Forschungsprojekts konnte wir nachweisen, dass eine Klasse von impliziten Runge-Kutta Verfahren imstande ist, solche Gleichungen effizient und zuverlässig zu lösen. Diese Ergebnisse bilden die Basis effizienter Computerprogramme und erlauben es einem, gewisse aus Computersimulationen gewonnene Daten richtig zu interpretieren. Im Projekt beschäftigten wir uns mit der Lösbarkeit von nichtlinearen parabolischen Gleichungen am Computer. Diese Klasse partieller Differentialgleichungen wird zur Modellierung nichtlinearer Diffusionsprozesse verwendet und ist deshalb in den Anwendungen von großem Interesse. Für den Fall, dass die zu modellierende Nichtlinearität klein im Verhältnis zur Diffusion ist, war schon länger bekannt, wie sich numerische Verfahren am Computer verhalten. Wir beschäftigten uns im Rahmen des Projekts mit dem weitaus schwierigeren Problem von großen Nichtlinearitäten, welches vollkommen neue Konzepte erforderte. Analytische Grundlage bildet ein relativ neuer Zugang auf der Basis von banachraumwertigen, hölderstetigen Funktionen mit schwach singulären Hölderkonstanten. Dieser analytische Ansatz vereinfacht frühere Konzepte und lässt sich auf Basis einer verallgemeinerten Variation der Konstanten Formel auch zur Untersuchung der numerischen Lösung verwenden. Das vorrangige Ziel war es, das Verhalten von Runge-Kutta Approximationen zu untersuchen. Aufgrund der exzellenten Stabilitätseigenschaften sind implizite Runge-Kutta Verfahren die idealen Kandidaten für Zeitintegratoren. Wir konnten zunächst die Existenz der numerischen Lösung beweisen, und in weiterer Folge über Konvergenzresultate auch Abschätzungen für den Fehler der numerischen Approximation ableiten. Solche Abschätzungen sind sehr wichtig, da sie die theoretische Basis für Computerprogramme bilden. Weiters untersuchten wir das qualitativen Verhalten von Runge-Kutta Approximationen. Die Schlüsselfrage ist hier, wie gut die Dynamik des zugrundeliegenden Problems von der Diskretisierung wiedergegeben wird. Für den Fall von hyperbolischen Gleichgewichtspunkten haben wir eine positive Antwort gefunden: die numerische Diskretisierung hat die selbe Dynamik wie das zugrunde liegende Problem. Wir konnten unsere Ergebnisse in renommierten Fachzeitschriften (Mathematics of Computation, Applied Numerical Mathematics) veröffentlichen, und bereits bei mehreren Fachtagungen sowie eingeladenen Vorträgen präsentieren.