Arithmetik eindimensionaler Integritätsbereiche

Forschungsprojekt P 14440Arithmetik eindimensionaler IntegritätsbereicheFranz HALTER-KOCH26.06.2000 In einem noetherschen Integritätsbereich R hat jede, von 0 verschiedene Nicht-Einheit eine Darstellung als Produkt unzerlegbarer Elemente. Ist R faktoriell, so ist diese Darstellung eindeutig bis auf die Reihenfolge der Faktoren und den Übergang zu Assoziierten. Ist R nicht faktoriell, so entsteht das Problem einer Beschreibung und Klassifikation der auftretenden Nichteindeutigkeitsphänomene. Die Menge der Längen von Faktorisierungen eines Elements von R nennt man dessen Längenmenge. Die bisher am gründlichsten untersuchte Invariante nicht-eindeutiger Faktorisierungen ist das System der möglichen Längenmengen. Der Integritätsbereich R heißt halbfaktoriell, wenn alle Längenmengen einelementig sind. Ist R der Ganzheitsring eines algebraischen Zahlkörpers oder allgemeiner ein Krullscher Integritätsbereich, so reduzieren sich Faktorisierungsprobleme in R auf kombinatorische Probleme in der Divisorenklassengruppe. Enthält nun noch (wie im zahlentheoretischen Fall) jede Divisorenklasse Primdivisoren, so kennt man die Struktur der Längenmengen. Ist R nicht ganz-abgeschlossen, so erhält man gute Strukturaussagen über Längenmengen auf noch unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass R ein schwach Krullseher Ring ist, dessen ganzer Abschluss ein endlich erzeugter Modul über R ist. In diesem. Projekt soll die Untersuchung der Arithmetik eindimensionaler noetherscher Integritätsbereiche fortgesetzt werden. Folgende Ziele werden angestrebt: 1) Untersuchung der algebraischen und arithmetischen Struktur lokaler analytisch verzweigter eindimensionaler noetherscher Integritätsbereiche; 2) Untersuchung der algebraischen Struktur endlich-primärer Monoide, (v-Idealtheorie, Realisierungssätze, Sätze vom Typ des Eakin- Nagata-Satzes) und geeigneter arithmetisch interessanter Verallgemeinerungen; 3) Algebraische und arithmetische Struktur von Kongruenzmonoiden in Dedekindringen; 4) Berechnung der Elastizität und Herleitung von Kriterien für die Halbfaktorialität von Ordnungen in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern; 5) Bestimmung der Feinstruktur der Längenmengen für eindimensionale noethersche Integritätsbereiche (insbesondere für Ordnungen in algebraischen Zahlkörpern).

Phänomene nicht-eindeutiger Faktorisierungen werden nach den Ergebnissen dieses Projektes wesentlich besser verstanden als zuvor. Insbesondere gelang der Beweis der Endlichkeitssätze für analytisch verzweigte eindimensionale lokale Ringe und für Kongruenzmonoide in Dedekindbereichen. Zur Erlangung dieser Resultate waren umfangreiche algebraische Untersuchungen zur Struktur kommutativer Monoide erforderlich. In einem noetherscher Integritätsbereich hat jede von Null verschiedene Nicht-Einheit eine Darstellung als Produkt irreduzibler Elemente. Ist der Bereich nicht faktoriell, so gibt es in der Regel viele solcher Darstellungen, und es entsteht die Aufgabe, die verschiedenen Phänomene der Nicht-Eindeutigkeit zu beschreiben und zu klassifizieren. Dieser Aufgabe widmet sich die Theorie der nicht-eindeutigen Faktorisierungen, welche in den letzten Jahrzehnten im Grenzgebiet zwischen Kommutativer Algebra, Zahlentheorie und Kombinatorik entwickelt wurde. Gute Resultate lagen bereits zu Beginn der Forschungsarbeiten für Krullmonoide mit endlicher Klassengruppe und für eindimensionale noethersche Integritätsbereich mit endlich erzeugtem ganzen Abschluss vor. Zu den wesentlichen Endlichkeitssätzen der Faktorisierungstheorie zählen lokale Zahmheit, Endlichkeit des Verkettungsgrades und der Struktursatz für Längenmengen. Diese konnten nun auch für analytisch verzweigt eindimensionale noethersche Bereiche und für Kongruenzmonoide in Dedekindringen gezeigt werden. Im Rahmen der dafür nötigen algebraischen Voruntersuchungen wurde die Theorie der finitären Monoide und der zahmen und kompletten Ideale in solchen Monoiden entwickelt. Endlich primäre Monoide sind ein wesentliches kombinatorisches Hilfsmittel zur Beschreibung der Arithmetik eindimensionaler Integritätsbereiche. Es konnten Beispiele nicht v-noetherscher endlich primärer Monoide und deren Realisierung in eindimensionalen Integritätsbereichen konstruiert werden. Im Rahmen der abstrakten Kongruenzmonoide wurden auch (hinreichende) Kriterien für v-noethersche endlich primäre Monoide hergeleitet. Für Krullmonoide mit unendlicher Klassengruppe wurden erstmals auch dann Irregularitätsresultate für Faktorisierungen bewiesen, wenn nicht alle Klassen Primdivisoren enthalten. Die Endlichkeit der Elastizität konnte für eine großen Klasse von Ringen bewiesen werden, von der bisher nur Spezialfälle bekannt waren. Für Ordnungen in algebraischen Zahlkörpern wurden neue zur Endlichkeit der Elastizität äquivalente arithmetische Bedingungen gefunden. In allen untersuchten Fällen ist entweder die Elastizität endlich oder die Länge kürzester Faktorisierungen universell beschränkt. Dieses Phänomen wurde zwar beobachtet, wird aber noch nicht in voller Allgemeinheit verstanden.