Hyperbolische Systeme mit nicht glatten Koeffizienten

Forschungsprojekt P 14576Hyperbolische Systeme mit nicht glatten KoeffizientenMichael OBERGUGGENBERGER09.10.2000 Das Projekt dient der Untersuchung von Wellenausbreitung und Diffraktion in unstetigen Medien, mit geophysikalischen Anwendungen. In direkten und inversen Problemen der Seismologie und Geophysik wird die Wellenausbreitung etwa von Schallwellen, durch lineare hyperbolische Gleichungen und Systeme beschrieben. Im Hinblick auf die Materialeigenschaften des Erdbodens ist die Singuläritätenstruktur der Koeffizienten von Interesse. Diese kann durch Unstetigkeiten, fraktalartige Grenzschichten oder eine unregelmäßige stochastische Struktur gegeben sein. Andererseits sind in seismologischen Experimenten Quellterme vielfach durch Deltafunktionen zu beschreiben. Aus mathematischer Sicht erfordert das Problem daher Methoden, die über die klassische verfügbaren hinausgehen und Multiplikation von Distributionen erlauben (seien es mikrolokale Methoden oder Algebren verallgemeinerter Funktionen). Ziel des Projektes ist es, mathematische Hilfsmittel zu entwickeln, die eine konsistente Untersuchung von verallgemeinerten Funktionen als Lösungen linearer hyperbolischer Gleichungen mit nicht glatten Koeffizienten ermöglichen und geophysikalische Fragen beantworten helfen. Der allgemeine Rahmen wird die Theorie verallgemeinerter Funktionen von Colombeau sein. Im einzelnen werden sich die Forschungen auf Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen, deren qualitativen Eigenschaften, die Entwicklung mikrolokaler Methoden (Wellenfrontmengen, Wellenzerlegung) und Untersuchung der Ausbreitung von Singularitäten konzentrieren; letztere ist für die Lokalisierung von Materialbrüchen von Interesse. Die Untersuchungen sind vor allem mathematischer Natur, werden aber in enger Zusammenarbeit mit der Geophysik-Gruppe um M. de Hoop am Center of Wave Phenomena in Colorado durchgeführt werden und sollten im Ergebnis daher auch für geophysikalische Forschungen von Belang sein.

Im Projekt wurden die Regularitätstheorie für partielle Differentialgleichungen mit nicht glatten, verallgemeinerten Koeffizienten sowie Anwendungen auf geophysikalische Modelle seismischer Wellenausbreitung entwickelt. Wegen der Wechselwirkung von Koeffizientensingularitäten mit prospektiven Lösungen sind klassische Ansätze im Allgemeinen unzureichend. Gründe dafür sind: das oftmalige Auftreten undefinierter Terme in den Modellgleichungen, Nichtexistenz und Nichteindeutigkeit distributioneller Lösungen, Fehlen allgemein anwendbarer Lösungskonzepte und qualitativer Methoden. Die Mehrzahl unserer neuen Methoden und Resultate sind im Gebiet der nichtlinearen Theorien verallgemeinerter Funktionen angesiedelt, namentlich Colombeau- Algebren. Darüber hinaus konnten wir auch einige Lösbarkeits- und Regularitätsresultate im Rahmen klassischer Funktionenräume erzielen. Auf der Ebene der allgemeinen Theorie haben wir klassische Regularitätsbegriffe verfeinert und eine Reihe von Bedingungen entwickelt, welche die Erhaltung von Regularität der Quellterme und Anfangsdaten in der Lösung zur Folge haben. Insbesondere enthält Letzteres eine allgemeine Analyse der so genannten Ausbreitung von Singularitäten. Dazu haben wir neue pseudodifferentielle Techniken entwickelt und eine neue pseudodifferentielle Charakterisierung der verallgemeinerten Wellenfrontmenge gewonnen. Ein spezieller Typus von Regularität, den wir im Detail untersuchten, war die verallgemeinerte Hölder-Stetigkeit. Die gewonnenen Resultate stellen einen wichtigen Beitrag zu aktuellen Forschungen in der Geophysik dar, deren Ziel es ist, Materialeigenschaften (wie zum Beispiel Variation der Schallgeschwindigkeit) innerhalb geologischer Formationen präzise zu charakterisieren. Hier betrafen unsere Ergebnisse einerseits Lösbarkeitsfragen in Funktionenräumen vom Sobolev-Typ, andererseits eine Abschätzung der Wellenregularität aus jener der Koeffizienten (das heißt, der Materialeigenschaften).