Indefinite Verallgemeinerungen von kanonischen Systemen

Ein klassisches kanonisches System in diesem Projekt ist ein spezielles symmetrisches Differentialgleichungssystem, bestehend aus zwei gewöhnlichen linearen Differentialgleichungen erster Ordnung mit lokal summierbaren Koeffizienten, die linear vom Eigenwertparameter abhängen. Die Spektraleigenschaften eines solchen Systems werden vollständig durch seinen Titchmarsh-Weyl -Koeffizienten bestimmt. Dieser ist eine analytische Funktion, die die obere Halbebene in sich abbildet, oder, mit anderen Worten, für die ein gewisser Kern positiv definit ist. Das inverse Spektralproblem besteht darin, das kanonische System aus einem vorgegebenen Titchmarsh-Weyl-Koeffizienten zu rekonstruieren. Im klassischen Fall ist dessen Lösung in den Arbeiten von de Branges enthalten. Während der letzten, 30 Jahre wurden auch Systeme betrachtet, deren Koeffizienten Singularitäten, haben oder die nichtlinear vom Eigenwertparameter abhängen. Diese Betrachtungen führten zu Titchmarsh-Weyl-Koeffizienten, deren zugehörige Kerne nicht positiv definit sind, jedoch nur eine endliche Anzahl negativer Quadrate besitzen. Das Ziel des vorliegenden Projektes ist es, eine allgemeine Klasse von kanonischen Systemen zu beschreiben, deren Titchmarsh-Weyl-Koeffizienten solche allgemeineren Funktionen sind. Diese Systeme stehen in engem Zusammenhang sowohl mit Sturm-Liouville Operatoren mit singulärem Potential und "fließenden" Singularitäten als auch mit Saiten, die sowohl negative Massen und als auch Dipole tragen können.

Inverse Spektralprobleme, d.h. die Rekonstruktion von Parametern eines Systems aus Beobachtungsdaten, spielen in den Anwendungen der Mathematik, z. B. in Quantentheorie, Geophysik, Hydrodynamik etc. eine zentrale Rolle. Eine Aufgabenstellung besteht etwa darin, zu einer gegebenen Verteilungsfunktion einen Differentialoperator (z. B. einen Schrödingeroperator oder ein kanonisches System) zu finden, der die gegebene Funktion als Spektralfunktion besitzt. Pionierarbeit auf diesem Gebiet wurde Mitte des vergangenen Jahrhunderts von I. Gelfand, B. Levitan, M. Krein und V. Marchenko geleistet. Als Ausgangspunkt wird dabei oft - insbesondere seit den grundlegenden Untersuchungen von L. de Branges - die Stieltjes-Transformierte der Dichtefunktion gewählt, die eine Nevanlinnafunktion (das ist eine holomorphe Funktion, welche die obere komplexe Halbebene in sich abbildet) ist; für den Differentialoperator ist diese Funktion ein sogenannter Titchmarsh-Weyl-Koeffizient. Motiviert durch zahlreiche in den letzten ca. 10 Jahren betrachtete Beispiele haben wir uns im vorliegenden Projekt mit entsprechenden Fragestellungen für verallgemeinerte Nevanlinnafunktionen beschäftigt; letzteres sind solche Funktionen, für die ein gewisser Kern, der bei Nevanlinnafunktionen positiv definit ist, indefinit sein kann, d.h. eine gewisse quadratische Form hat endlich viele negative Quadrate. Charakteristisch dabei ist, dass die entsprechenden "indefiniten" kanonischen Systeme oder Differentialoperatoren Singularitäten besitzen, in denen z. B. das Potential in einem Punkt konzentriert ist ("Point Interaction"), nicht summierbar ist, oder in denen spezielle Interface- und Randbedingungen vorgegeben werden müssen. Eine wesentliche Aufgabe des Projektes bestand in der Klärung der analytischen Struktur von verallgemeinerten Nevanlinnafunktionen und ihrer allgemeinen Operatordarstellungen oder Realisierungen; die oben genannten Differentialoperatoren sind spezielle solche Realisierungen. Es konnten darüber hinaus für die bei singulären Störungen auftretenden verallgemeinerten Nevanlinnafunktionen konkrete Modelle angegeben werden, und die Struktur dieser Funktionen (hinsichtlich ihrer Singularitäten) wurde vollständig beschrieben. Weitere Hauptergebnisse beziehen sich auf Differentialoperatoren mit Singularitäten; insbesondere Operatoren vom Besseltyp wurden sehr detailliert und unter verschiedenen Gesichtspunkten studiert. So wurde ein Operatormodell des zugehörigen kanonischen Systems angegeben, Approximationsmodelle untersucht, sowie der Zusammenhang zwischen gewissen singulären Störungen und einer skalaren Spektralfunktion geklärt.