Explizite Auflösung von Singularitäten

Eine Singularitaeten-Aufloesung einer algebraischen Varietaet ist eine Parametrisierung derselben durch einen nicht-singulaeren Parameter-Raum. Die Konstruktion von Aufloesungen ist ein klassischer Zweig der Singularitaeten-Theorie mit wesentlichen Anwendungenin der Geometrie, Algebra und Topologie. Seit kurzem findet sie auch in Computer Aided Design mit Kurven und Flaechen Anwendung. Obwohl in den letzten vierzig Jahren grosse Fortschritte auf diesem Gebiet gemacht wurden, ist die effektive Berechnung einer Aufloesungimmer noch ein sehr schwieriges Problem. In diesem Proposal schlagen wir vor, den Problembereich durch Kombination von hoch-entwickelterMathematik und starken Methoden der Computer-Algebra zu behandeln. Die beabsichtigten Anwendungen sind, signifikantes experimentiellesMaterial zum noch offenen Fall der Charakteristik p zusammenzutragen, effizient Flaechen zu parametrisieren fuer graphische Anwendungen,die kanonische Klasse zu studieren, und verwandte zahlentheoretische Probleme zu behandeln, z.B. die Berechnung von Normalbasen eines Zerfaellungskorpers. Diese Ziele sind in der gegenwaertigenForschung von zentralem Interesse.

Zur Auflösung von Singularitäten wurden wesentliche Beiträge zum besseren und bedeutend expliziteren Verständnis der auftretenden Phänomene sowie verbesserte Algorithmen erarbeitet. Auf den verwandten Gebieten des Parametrisierungsproblems rationaler Flächen und der Frage nach rationalen Punkten auf Del Pezzo Flächen konnten erfolgreich neue und effektive Beiträge geleistet werden. Singuläre Varietäten sind geometrische Objekte gegeben als Lösungsmenge polynomialer Gleichungen, die mit Ausnahme einiger weniger Punkte glatt wie die Oberfläche von Seifenblasen sind. Diese Ausnahmepunkte, wo sich die Varietät selbst durchdringen, Kanten bilden oder zu Spitzen zusammen laufen kann, bezeichnet man als Singularitäten. Die Auflösung von Singularitäten besagt, dass jede Varietät mit Singularitäten die Projektion einer höher dimensionalen Varietät ohne Singularitäten ist. Im Rahmen des Projekts wurde zunächst der ursprüngliche Beweis von Hironaka wesentlich überarbeitet, um mehr Transparenz und ein expliziteres Verständnis zu schaffen. In der Folge konnten zahlreiche Verbesserung für das algorithmische Auflösen von Singularitäten formuliert und implementiert werden. Die wesentlichen Probleme im noch ungeklärten Fall positiver Charakteristik wurden ausgearbeitet und auf den Punkt gebracht. Vielversprechende Konzepte wurden erstellt, um diese offenen Probleme und Fragestellungen zu behandeln. Diese neuen Techniken sind derzeit Gegenstand weiterer Forschung. In der algebraischen Geometrie und in der Zahlentheorie wurden zu durch die Auflösung von Singularitäten inspirierten Problemen Beiträge geleistet: Zum Problem der Parametrisierung rationaler Kurven wurden mit Techniken aus der torischen Geometrie und unter Ausnutzen der Form des Newton Polygons zwei neue Algorithmen entwickelt. Mit Hilfe von Lie Algebra Methoden entstand ein elegantes und effizientes Verfahren zum Auffinden rationaler Punkte auf Del Pezzo Flächen. Im Zuge der wissenschaftlichen Forschung erfolgte auch eine intensive Auseinandersetzung mit der Visualisierung algebraischer Flächen. Das dadurch entstandene Anschauungsmaterial bildete einen wesentlichen Eckpfeiler der Öffentlichkeitsarbeit und fand bei einem breiten Publikum Beachtung und großen Anklang.