Abschätzung der Ruinwahrscheinlichkeit für einen Versicherer

Unter einer Ruinwahrscheinlichkeit versteht man die Wahrscheinlichkeit, daß das Vermögen eines Unternehmens im Lauf der Zeit unter den Wert Null fällt. Bei einem Versicherungsunternehmen wird der Vermögensprozess durch die eingehenden Prämienzahlungen und die Schadensausfälle bestimmt. Seit 1903, als F. Lundberg ein kollektives Risikomodell einführte, dessen Schadensverlauf auf einem homogenen Poissonprozess basiert, hat man die Berechnung der Ruinwahrscheinlichkeit für dieses Modell gut im Griff. So konnte z.B. gezeigt werden, daß für Schäden mit exponentiellen Momenten die Ruinwahrscheinlichkeit exponentiell mit dem Startkapitel abfällt. Aber auch für Schäden mit langsamer abfallenden Verteilungen gibt es bereits viele Resultate in der Fachliteratur. Das Ziel dieses Projektes ist es, diese Resultate dahingehend zu verallgemeinern, daß das Unternehmen neben dem klassischen Risikoprozess die Möglichkeit hat, in einen (Aktien-)Markt zu investieren, der z.B. durch eine geometrische Brownsche Bewegung beschrieben wird. Im Gegensatz zum klassischen Setting hat die Versicherung nun die Möglichkeit, ihre Investmentstrategie so zu wählen, daß ihre Ruinwahrscheinlichkeit minimal wird. Ein Teilziel dieses Projektes ist es, das asymptotische Verhalten der minimalen Ruinwahrscheinlichkeit für großes Startkapital zu untersuchen, wenn die Schadensausfälle groß sind (ihre Verteilungsfunktion von regulärer Variation ist). Ein anderes Ziel dieses Projektes ist es, die minimale Ruinwahrscheinlichkeit für kleine Schäden mit exponentiellen Momenten zu betrachten. Wir wollen Martingalmethoden benutzen, um Cramèr-Lundberg- Schranken resp. -Asymptotik abzuleiten und auch um die optimale Investmentstrategie, die zur minimalen Ruinwahrscheinlichkeit führt, näher zu untersuchen. Außerdem sollen ökomisch sinnvolle Verallgemeinerungen betrachtet werden, wie z.B. die Einführung von Zinsen oder Dividendenschranken. Die aus dem Projekt entstehenden Ergebnisse sollen als wertvolle Informationen für Versicherungsunternehmen oder andere Unternehmen mit stochastischen Risiken dienen: über Risken und Chancen, die aus der Möglichkeit, in moderne Finanzmärkte zu investieren, entstehen können. Das steht ganz in Einklang mit der momentanen Betonung- sowohl in der Theorie als auch in der Praxis - des Themas Asset-Liability-Managementsfür Versicherungsunternehmen; darunter versteht man die Steuerung des Risikos nicht nur auf der Passiv-, sondern auch auf der Veranlagungsseite.

Versicherungsunternehmen müssen ihr Risiko auf die eine oder andere Art abschätzen. Ein klassisches Maß für das Risiko ist die Ruinwahrscheinlichkeit des Unternehmens. Lassen Sie uns dieses Konzept an Hand des klassischen Modells der Risikotheorie erklären. Das Unternehmen started mit einem gewissen Anfangskapital und nimmt im Laufe der Zeit bestimmte Prämien ein. Dafür muß man dann aber gemeldete Schäden bezahlen. Die hereinkommenden Prämien werden oft in deterministischer Weise modelliert, z.B. ein konstanter Prämienbetrag pro Zeiteinheit. Andererseits sind die hereinkommenden Schäden zufällig, und man ist gezwungen ein stochastisches Modell dafür zu wählen. Einerseits muß man die Zeiten zwischen den Schäden modellieren, andererseits die Höhe der Schäden. Dies wird erreicht, indem man diesen "Zwischenzeiten" beziehungsweise den Höhen der Schäden gewisse Wahrscheinlichkeiten zuordnet. Letzlich fragt man sich nach der Höhe der Ruinwahrscheinlichkeit für das so modellierte Unternehmen Eine erste Antwort auf diese Frage konnte Frederic Lundberg um 1900 geben. Er zeigte, dass unter bestimmten Voraussetzungen an das Modell, die Ruinwahrscheinlichkeit exponentiell mit der Höhe des Anfanfskapitals abnimmt. Heutzutage investieren Versicherungsunternehmen Teile ihres Kapitals auch in den Aktienmarkt. Das Hauptziel des vorliegenden Projektes war es, abzuschätzen, wie sich die Ruinwahrscheinlichkeit verändert, wenn das Unternehmen in den Markt investiert. Dazu muss man zuerst zum obigen Modell ein Modell für den Verlauf des Aktienkurses hinzufügen. In unserem Fall war dies die bekannte geometrische Brownsche Bewegung, die auch zur Herleitung der berühmten BlackScholes Formel in der Optionspreistheorie verwendet wird. Im Projekt wurde unterschieden zwischen sogenannten Groß- und Kleinschäden, die jeweils andere Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die Schadenhöhen aufweisen. Ebenso wurde die Art unterschieden, wie die Unternehmen investieren, einerseits immer einen konstanten Prozentsatz ihres Vermögens, andererseits in optimaler Art. Optimal bedeutet hier, dass die entsprechende Ruinwahrscheinlichkeit minimiert wird. In allen diesen Fällen war es möglich zumindest Abschätzungen für die Ruinwahrscheinlichkeit zu finden. Es stellte sich heraus, dass es möglich ist die Ruinwahrscheinlichkeit, durch eine vernünftige Art der Investition, erheblich zu reduzieren (verglichen mit einem Unternehmen, das überhaupt nicht investiert).