Nichtkonvexe Regularisierung

Inverse Probleme tauchen in vielen (industriellen) Anwendungen, wie etwa zerstörungsfreier Materialprüfung und medizinischer Bildverarbeitung, auf. Die Mathematik, die zur Lösung von Inversen Problemen benötigt wird, ist sehr anspruchsvoll. Eine erhebliche Schwierigkeit bei der numerischen Lösung von Inversen Problemen ist die Instabilität bezüglich Daten- und numerischen Rechenfehlern. Diese Instabilität wird auch als inkorrekt Gestelltheit bezeichnet. Dieses Projekt beschäftigt sich mit der Analyse und Implementierung von neuen Variationsmethoden zur Lösung von Inversen Problemen. Methoden zur stabilen numerischen Lösung von Inversen Problemen heißen Regularisierungsverfahren. Regularisierungsverfahren basierend auf Variationsmethoden wurden von A. Tikhonov um 1930 eingeführt. Die Theorie der Regularisierungsverfahren zur Lösung von linearen Inversen Problemen entwickelte sich systematisch, bis um 1980 eine ziemlich vollständige Theorie zur Verfügung stand. Ein aktives Forschungsgebiet der Regularisierungsverfahren von linearen Inversen Problemen ist deren effiziente (schnelle) numerische Lösung. Später wurden stabile Lösungsverfahren zur Lösung von nichtlinearen Inversen Problemen entwickelt und analysiert. Mitte der 90er Jahre wurden nicht differenzierbare Regularisierungsverfahren entwickelt und zur Lösung von Inversen Problemen erfolgreich eingesetzt; eine vollständige und exakte Analyse von solchen Verfahren steht aber bis heute nicht zur Verfügung. Diese Projekt beschäftigt sich mit nichtkonvexen Regularisierungsverfahren. Diese Klasse beinhaltet konzeptionell sowohl lineare, nichtlineare, als auch nichtdifferenzierbare Regularisierungsverfahren. Die zusätzliche Anzahl von Freiheitsgraden bei nichtkonvexen Regulariserungsverfahren kann ausgenutzt werden um Verfahren mit Invarianzeigenschaften und anderen interessanten Eigenschaften zu konstruieren.