Nutzenmaximierung in Unvollständigen Finanzmärkten

Eine Grundfrage der Finanzmathematik ist das Problem einer ökonomischen Agentin, die an einem Finanzmarkt investiert und deren Ziel es ist, den erwarteten Nutzen des zwischenzeitlichen Konsums und/oder des Gesamtvermögens am Ende des Zeithorizonts zu maximieren. Ziel dieses Projektes ist es, folgende Fragen in diesem Zusammenhang zu untersuchen: (1) Nutzenmaximierung für Nutzenfunktionen, die auch für negatives Vermögen definiert sind. (2) Effizientes Hedging für Amerikanische Optionen. (3) Nutzenmaximierung in Modellen mit Transaktionskosten. (4) Gleichgewichtsrestriktionen für Optionspreise. Diese Problemstellungen sind eng miteinander verbunden. Sie sind natürliche Erweiterungen der Ergebnisse von Kramkov und Schachermayer (1999). In diesem Artikel wurde für eine Agentin, deren Nutzenfunktion nur für positives Gesamtvermögen definiert ist, und welche nicht für Transaktionskosten wie Steuern oder Maklergebühren aufkommen muss, die Dualitätstheorie in grosser Allgemeinheit entwickelt. Geht man zu Nutzenfunktionen über, die auch für negatives Vermögen (zB Exponential-Nutzen) definiert sind, so gelangt man zu Problem (1), welches in einem Artikel von Schachermayer (2001) analysiert wurde. Zu den offenen Fragen zählen hier - unter anderem - der Fall von nicht lokal beschränkten Preisprozessen sowie die Existenz einer optimalen Hedgingstrategie für eine Agentin, die eine Option verkauft hat. Problem (2) betrifft das Problem der Nutzenmaximierung, wenn der Zeithorizont unbekannt ist. Dies führt zu einem Problem vom Maxi-min Typ, welches sowohl von einem mathematischen als auch von einem ökonomischen Gesichtspunkt her relevant ist. Was die mathematische Dualitätstheorie in Marktmodellen mit Transaktionskosten betrifft, so muss hier zunächst die Gültigkeit des "Fundamentalsatzes für die Bewertung von Finanztiteln" sichergestellt werden. Erst kürzlich sind in diesem Bereich wichtige Fortschritte erzielt worden, welche neue Wege für die allgemeine Dualitätstheorie für Problem (3) eröffnen. Problem (4) entspricht einer Anwendung der Ergebnisse der Nutzenmaximierung auf die Theorie der Optionsbewertung in unvollständigen Märkten. Ein Markt mit mehreren interagierenden Agenten ist im Gleichgewicht, wenn die Gesamtnachfrage den Markt räumt, und wenn jeder Agent seinen Nutzen maximiert. Bei Problem (4) besteht die Grundidee darin, Gleichgewichtseinschränkungen an Optionspreise zu bestimmen, welche nicht von den Präferenzen der Agenten abhängen und gleichzeitig schärfer als die no-arbitrage Bedingungen sind.

Ein grundlegendes Problem bei der Analyse von Investitions-Alternativen ist die Frage der Portfolio-Optimierung. Jeder Investor steht vor dem Dilemma der Abwägung von Gewinnchancen versus dem damit verbundenen Risiko. Die mathematische Behandlung dieses Problems geht zurück bis Daniel Bernoulli. Er verwendete bereits 1738 das Konzept von Nutzen-Funktionen zur Abwägung von Erwartungswerten und Risken. Dies ermöglichte ihm, eine Lösung des "Petersburg Paradoxons" vorszuschlagen. Der Beginn der modernen Entwicklung kann mit der Arbeit von Franz Alt (1936) datiert werden. Die nachfolgenden Arbeiten von J. v. Neumann, O. Morgenstern, J. Savage, H. Markowitz und vielen anderen bekannten Autoren erlangten große Bedeutung. Mit den Arbeiten von R. Merton (1971) wurden die dynamischen Aspekte der Portfolio-Optimierung mit der Theorie der stochastischen Prozesse verknüpft. Im gegenständlichen Forschungsprojekt wurden eine Reihe von aktuellen Fragen aus diesem Bereich analysiert. Sie behandeln folgende Themenfelder: 1) Die Bewertung von Optionen und anderen Derivativen durch Grenznutzen-Überlegungen. 2) Risiko-Minimierung und Nutzen-Optimierung von Versicherungs-Unternehmen. 3) Nutzen-Optimierung bei Berücksichtigung von Transaktions-Kosten.