Asymptotik und Attraktoren von hyperbolischen Gleichungen

Dieses Projekt dient der asymptotischen Analyse und numerischen Simulation von linearen und nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen des hyperbolischen Typs, die aus der relativistischen Quantenmechanik stammen, d.h. Quantenmechanik, wo beruecksichtigt wird, dass die Lichtgeschwindigkeit nicht unendlich gross ist ("Spezielle Relativitaetstheorie"). Unsere mathematische Forschung ist von fundamentalen Problemen der Physik inspiriert, insbesondere dem "Welle-Teilchen" Dualismus. Die mathematisch rigorose Verbindung von Welle und Teilchen wird von der asymptotischen Analysis geliefert (d.h. dem Studium, wenn ein physikalischer Parameter gegen Null oder Unendlich strebt.) Oft wird von "Hochfrequenz Limes" gesprochen oder "Grenzfall der geometrischen Optik" wo Strahlen statt Wellen betrachtet werden. In unserem Zusammenhang sind die Objekte, die im Grenzfall den Teilchen entsprechen, die "Solitonen" als spezielle Loesungen von Wellengleichungen. Unsere Forschung dient auch dem besseren Verstaendnis von "Quanten Uebergaengen" : fuer gebundene Systeme werden die Stationaerzustaende als Langzeitasymptotik erhalten. Unser allgemeines Ziel ist die Entwicklung der Theorie der hyperbolischen PDGIgn und der damit verbundene neue dynamische Zugang zu den obigen fundamentalen Problemen. Wir betrachten : i) klassischer Grenzwert und Langzeitverhalten von Loesungen mit beschraenkter Energie : die Attraktion zur Menge aller Stationaerzustaende und Soliton-artige Asymptotik. ii) die Konvergenz zu Gleichgewichtsdistributionen fuer Loesungen mit unbeschraenkter Energie. Vorarbeiten in Richtung i) betrafen lineare und nichtlineare Wellen- und Maxwellgleichungen. Das Ziel dieses Projekts ist die Erweiterung dieser Resultate fuer nichtlineare Klein-Gordon Gleichungen. Vorarbeiten in Richtung ii) betrafen eindimensionale Kristalle, Wellen- und KleinGordongleichungen. Ziel des Projektes ist die Erweiterung der Resultate frier das Born-Karman Modell der Festkoerperphysik, fuer zwei- und dreidimensionale Kristall mit Anfangs Maszen bei zwei verschiedenen Temperaturen sowie translationsinvariante Kopplung eines nichtlinearen Oszillators zum Wellenfeld. Dieses Projekt umfasst mehrere Teams in Europa, inklusive Russland, sowie den USA und stellt einen exzellenten Rahmen fuer internationale Kooperation an state-of-the-art Problemen der modernen mathematischen Physik dar, mit dem Ziel, Fortschritt in der Theorie der Quanten Elektro Dynamik (QED) zu machen.

Übergeordnetes Ziel dieses Projekts war die asymptotische Analysis und numerische Simulation von linearen und nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen hyperbolischen Typs, die in relativistischer Quantenmechanik auftreten, d.h. Quantenmechanische Theorie, welche berücksichtigt, daß die Lichtgeschwindigkeit nicht unendlich ist ("Spezielle Relativitätstheorie von Einstein"). Nichtlineare Gleichungen ergeben sich aus der Kopplung von Materie, welche z. B. durch die Dirac-Gleichung oder Vlasov-Gleichung beschrieben wird, an (elektromagnetische) Felder/Potentiale, die z. B. durch die Maxwell-Gleichung beschrieben werden. Das streng mathematische Bindeglied zwischen Wellen und Teilchen wird besonders durch "Solitonen" hergestellt, welche spezielle Lösungen z B der Wellengleichung darstellen. Weiteres Ziel dieser Forschung ist auch ein besseres Verständnis von "Quantenübergängen": für gebundene Systeme werden stationäre Zustände durch eine Langzeit-Asymptotik der nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen erhalten. Das Projekt hat zur Weiterentwicklung der Theorie hyperbolischer PDG beigetragen und zu einem neuen dynamischen Zugang zu einem besseren Verständnis fundamentaler Probleme in der mathematischen Physik. Die Hauptresultate wurden erhalten zu : i) nichtrelativistischen und klassischen Limiten von Klein-Gordon Maxwell und Dirac-Maxwell-Gleichungen ii) Langzeitverhalten von Lösungen endlicher Energie und Attraktion zur Menge der Stationären Zustände und Soliton-Typ Asymptotik iii) Konvergenz zum Gleichgewichtszustand für Lösungen unendlicher Energie Das Projekt hat existierende Resultate über Wellengleichungen erfolgreich auf nichtlineare Klein-Gordon- Gleichungen ausgeweitet. Auch wurden bekannte Resultate über das Born-von-Karmann-Modell von Festkörpern ausgeweitet auf Kristalle höherer Dimensionen mit Zwei-Temperatur-Maßen als Anfangszustand und tanslationsinvarianter Kopplung des nichtlinearen Oszillators an das Wellenfeld. Das Projekt wurde von A. Komech und dem Projektleiter zusammen mit mehreren Postdocs und Gästen ausgeführt. Insgesamt 33 Publikationen in Journalen mit peer-review enstanden aus dem Projekt, es wurden Präsentationen auf internationalen Konferenzen gegeben, einschliesslich eines invited talk am College de France der 2 führenden Projektmitglieder. Auch wurden mehrere internationale Workshops im Rahmen des Projekts organisiert.