Nichtlinear Wellen

Dieses Projekt beschäftigt sich mit Fragen der Existenz, der Stabilität gegenüber kleinen Störungen und der numerischen Analyse von "Wandernden Wellen" Lösungen verschiedener Modellgleichungen der angewandten Mathematik. Als wandernde Wellen bezeichnet man, basierend auf dem intuitiven Wellenbegriff, Lösungen, bei denen räumlich lokalisierte Profile zeitlich mit konstanter Geschwindigkeit verschoben werden. Obwohl wandernde Wellen spezielle Lösungen darstellen, bilden sie einen Grundstein zum Verständnis komplexerer Phänomene, die sich oft als Überlagerung beschreiben lassen. Einige der von uns betrachteten Modellgleichungen (sogenannte makroskopische Modelle) beschreiben ein kontinuierliches Medium (wie zum Beispiel Luft) durch makroskopische Größen wie Dichte, Strömungsgeschwindigkeit und Temperatur. In der zweiten Modellklasse (den sogenannten kinetischen Gleichungen) wird eine verfeinerte Beschreibung verwendet. Ein Grundinteresse dieses Projektes liegt in Situationen, wo bei makroskopischen Modellen Phänomene wie zum Beispiel der Überschallknall eines Flugzeuges nur als Sprung von Größen in der Lösung dargestellt werden können, jedoch bei einer kinetischen Beschreibung die Auflösung der Feinstruktur zu einem steilen, aber kontinuierlichen Sprungprofil gelingt. Die Nachteile einer kinetischen Beschreibung liegen hingegen in der ungleich schwierigeren theoretischen und numerischen Behandlung. Weitere betrachtete Modellgleichungen dienen der Beschreibung vom Transport von Ladungsträgern in Halbleitern oder in einem Plasma, mit einem Anwendungsbeispiel aus der Theorie von mikrowellenerzeugenden Dioden. Als ersten Schritt gilt es jeweils, die Existenz von wandernden Wellen mit kleiner Auslenkung zu beweisen. Um die Stabilität von wandernden Wellen unter dem Einfluss von kleinen Störungen zu untersuchen, werden Lösungskomponenten gesucht, die unter Störungen stark anwachsen und so Instabilität verursachen. Hierbei wird ein neuer, geometrischer Zugang Verwendung finden, der geschickt Lösungsanteile auf störungsinvariante Teilräume aufteilt. Ergänzt und auch inspiriert werden diese analytischen Fragestellungen durch die numerisch- approximative Berechnungen von wandernden Wellen.

Dieses Projekt beschäftigt sich mit der Existenz, Stabilität und der numerischen Simulation von wandernden Wellen, die als Lösung gewisser Modellgleichungen der Angewandten Mathematik auftreten. Wanderden Wellen sind spezeille Lösungen, dadurch charakterisiert, dass ein zeitlich unverändertes Profil mit konstanter Geschwindigkeit wandert. Sie dienen zur Beschreibung verschiedener Phänomene. Als Beispiel treten in verschiedenen kontinuierlichen Medien (z.B. in Gasen) abrupte Übergänge auf, die mit konstanter Geschwindigkeit wandern. Ein bekanntes derartiges Phänomen ist der von Flugzeugen verursachte Überschallknall. Mathematisch werden diese Übergänge durch unstetige Lösungen beschrieben. Physikalisch genauere Modelle, wie die heir behandelten kinetischen Gleichungen können die interne Struktur dieser sogenannten Stoßwellen in der Form stetiger wandernder Zellen auflösen. Diese Modelle werden sowohl in der Gasdynamik wie auch zur Beschriebung des Ladungstransportes in Plasma und Halbleitern verwendet. Die Hauptresultate dieses Projekts sind Existenzbeweise für wsndernde Wellen und Beweise für deren dynamische Stabilität. Wandernde Wellen sind auch in anderen Anwendungen von Bedeutung wie in der Beschreibung von Verbrennungsvorgängen und deren chemische Reaktionen. Dort könnten sei z.B. Dei gleichmäßige Ausbreitung von Flammen beschrieben. In diesem Projekt wurde ein Modell für die Beschreibung von Mikrowellengeneratoren behandelt, deren Funktion auf der Ausbreitung von Ladungswellen in Halbleiterkristallen beruht.