Adaptive Raumdiskretisierungen in 4 Beispielen

Nichtlineare zeitabhängige Probleme sind trotz des Einsatzes von Supercomputern noch immer aktueller Forschungsgegenstand im wissenschaftlichen Rechnen. Die erfolgreiche numerische Behandlung erfordert eine geeignete Diskretisierung in Zeit und Ort, was dadurch erschwert wird, daß die Diskretisierungen beider Dimensionen sich gegenseitig bedingen. Bei Phasenübergängen, Kontaktproblemen und auch amerikanischen Optionen treten Singularitäten und/oder freie Ränder auf. Dies erfordert hochgradig adaptierte Netze in einigen Bereichen des Raum-Zeit-Gebiets, die a priori unbekannt sind. Das Hauptaugenmerk des beantragten Projekts liegt auf der Entwicklung geeigneter Diskretisierungen und Algorithmen, die insbesondere solche Phänomene berücksichtigen. Vier Modellprobleme beschreiben bereits unter einfachsten Rahmenbedingungen das charakteristische Verhalten von Lösungen in vier innovativen Anwendungsfeldern: Satellite Dynamics, Phasenfeldgleichungen, Quantenmechanik und Computational Finance. Jedes der vier genannten mathematischen Modelle läßt sich in einem ähnlichen analytischen Kontext behandeln und soll empirisch in numerischen Experimenten getestet werden. Ziel dieses Projekts ist es, effizientere Algorithmen zu entwickeln, die die steig komplexer werdenden Simulationen in immer neuen und innovativen Anwendungsfeldern erst ermöglichen.

Das Verständnis von adaptiven Verfahren für physikalische und ingenieur-wissenschaftliche Anwendungen ist von großer Bedeutung. Dabei ist die Entwicklung von apriori und a posteriori Fehlerschätzern für adaptive Raumdiskretisierungen besonders für die Effizienz und Exaktheit der numerischen Berechnungen wichtig. Da nicht adaptive Verfahren sehr kostenintensiv sind bei Berechnungen, zahlt es sich aus, neue adaptive Raum- diskretisierungsverfahren zu entwickeln. Das FWF-Projekt "Adaptive Raumdiskretisierungen in 4 Beispielen (Förderung P16461-N12, Projekt 32307401) befasst sich mit der mathematischen Fundierung und Entwicklung adaptiver Verfahren für Raumdiskretisierungen und der Anwendung in 4 ausgewählten Beispielen (real-life problems). Dabei heißt ein Raumdiskretisierungsverfahren adaptiv, wenn es in der Abhängigkeit des Diskretisierungsfehlers e h = u - uh , die betroffenen Gebiete vergrößert oder verfeinert. Die numerische Simulation liefert stets eine diskrete Approximation uh von u, die von der Feinheit der Triangulierung abhängt. Bei einer vorgegebenen Fehlertoleranz erlauben die entwickelten Algorithmen die Berechnung einer Approximation uh von u. Dabei können die a priori-Fehlerschätzer eine obere Schranke für den Fehler e h vor den berechneten Größen geben, d.h. von der exakten Lösung u. Wobei der a posteriori-Fehlerschätzer eine obere Schranke für den Fehler e h nur von den berechneten Größen angibt, d.h. von der approximativen Lösung e h . Die 4 Beispiele haben sich dabei aus dem Bereich der nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen zusammengesetzt, z.B. Evaluierung von American Options, Modell von angebundenen Satelliten-Systemen (TSS), Modellierung und Lösung von Phasenfeld und quantenmechanischen Problemen. Dabei war ein numerisch aufwendiger Punkt in dem Auffinden der Dualitäts- und Energie-Argumente für die Fehlerschätzer. So mußten die entsprechenden Standard-Sobolev-Räume errichtet werden zu gerichteten Sobolev- Räumen für das Beispiel der American Option und für die Raum-Zeit-Diskretisierungen bei den weiteren Beispielen. Mit diesen Erweiterungen konnten dann die Fehlerschätzer hergeleitet werden und die Simulationen bestätigten bessere Approximation durch deutlich weniger Elemente. Die Effizienz durch adaptive Verfeinerung konnten die Rechenzeiten um ein Vielfaches verringern. Aus der numerischen Evidenz des Projekts schließen wir, dass eine Erweiterung der Standard-Sobolev-Räume neue adaptive Raumdiskretisierungsverfahren ermöglichen, die in Zukunft eine wichtige Rolle bei der Lösung spielen werden.