Nicht-eindeutige Faktorisierungen und Nullsummenfolgen

Der in der elementaren Zahlentheorie bekannte Satz von der Existenz und Eindeutigkeit der Primzerle-gung natürlicher Zahlen verliert seine Gültigkeit in Ganzheitsringen algebraischer Zahlkörper und in vielen anderen Bereichen, in welchen zwar noch jedes Element eine Zerlegung in unzerlegbare Ele-mente besitzt, diese Zerlegung aber nicht eindeutig zu sein braucht. In der klassischen algebraischen Zahlentheorie des 19. Jahrhunderts zeigte man, wie man durch die Einführung idealer Objekte einen Ersatz für die fehlende Eindeutigkeit der Primzerlegung finden kann (hier sind vor allem die Idealthe-orie Richard Dedekinds, die Divisorentheorie Leopold Kroneckers und die p-adik Kurt Hensels zu nennen). Erst in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts begann man, Phänomene nicht-eindeutiger Faktorisierungen um ihrer selbst willen zu studieren. Die Anfänge bildeten die Arbeiten von L. Carlitz und W. Narkiewicz im Bereich der algebraischen Zahlen und die Untersuchungen der Brüder D.D. und D.F. Anderson und anderer im Bereich der kommutativen Ringe. Seit vielen Jahren ist die Theorie der nicht-eindeutigen Faktorisierungen ein Schwerpunkt der Arbeitsgruppe Algebra und Zahlentheorie am Institut für Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen der Karl-Franzens-Universität Graz. Im Rahmen des Forschungsprojektes wurde das Studium nicht-eindeutiger Faktorisierungen in einem sehr allgemeinen Rahmen fortgesetzt. Neben den klassischen Objekten der algebraischen Zahlentheo-rie stand vor allem die Theorie der Nullsummenfolgen im Zentrum der Betrachtungen. Diese ist einer-seits ein entscheidendes Hilfsmittel zur Untersuchung der ganz-algebraischen Zahlen, hat aber auch eine davon unabhängige Tradition in der additiven Zahlentheorie und in der Kombinatorik ("additive Gruppentheorie"). In die Zeit dieses Forschungsprojektes fiel die Fertigstellung der Monographie "Non-Unique Factori-zations. Algebraic, Combinatorial and Analytic Theory" (700pp.) von A. Geroldinger und F. Halter-Koch. Diese ist die erste zusammenfassende Darstellung der verschiedensten Aspekte und der Grund-lagen der Theorie der nicht- eindeutigen Faktorisierungen. Viele der im Rahmen des Forschungsprojektes erzielten Resultate wurden in dieser Monographie erstmalig publiziert. Die wichtigsten in diesem Projekt gewonnenen Einzelergebnisse sind Aussagen über die Struktur und Größe maximaler halbfaktorieller Teilmengen endlicher abelscher Gruppen, die algebraische und arithmetische Theorie der C-Monoide, der Satz über die Häufigkeit ganz-algebraischer Zahlen mit übersichtlicher Faktorisierungsmenge und die explizite