Diophantische Eigenschaften mehrdimensionaler Kettenbrüche

C. G. J. Jacobi (1804-1851) versuchte den berühmten Satz von Lagrange über die Charakterisierung quadratischer Irrationalzahlen als periodische Kettenbrüche zu verallgemeinern. Er stellte einen Algorithmus für Paare reeller Zahlen auf und hoffte, dass dieser Algorithmus genau dann periodisch wird, wenn beide Zahlen zu einem kubischen Zahlkörper gehören. Jacobi konnte dafür einige Beispiele angeben, aber es gelang ihm nicht, eine Verallgemeinerung des Satzes von Lagrange zu beweisen. Tatsächlich ist diese Frage ein bis heute ungelöstes Problem! In den letzten Jahren waren mehrdimensionale Kettenbrüche auch für Physik (Renormalisationstheorie, Perkolationstheorie) und für numerische Mathematik (Additionsketten) von Interesse. Eine zusammenfassende Darstellung der algebraischen und ergodischen Eigenschaften unter Berücksichtigung der jüngsten Forschungen findet sich in Schweigers Monographie Multidimensional Continued Fractions. Die vorgeschlagenen Forschungen sollen sich an folgenden zwei Problemkreisen orientieren. Diophantische Eigenschaften: Mehrdimensionaler Kettenbrüche erzeugen unendlich viele Punkte mit rationalen Koordinaten. Es stellt sich die Frage, wie gut diese Punkte approximieren. Lagarias konnte zeigen, dass die Lyapunovexponenten des entsprechenden ergodischen Prozesses eine Rolle spielen. Broise-Alamichel & Guivarc`h haben wertvolle Ergebnisse über das Lyapunovspektrum gefunden. Für 2-dimensionale Algorithmen sind inzwischen einige wichtige Ergebnisse gefunden worden. Für die Dimension 3 ist die Lage schlechter. Schratzberger konnte den multiplikativen Brunschen Algorithmus erfolgreich bearbeiten. Es ist wichtig, weitere Algorithmen zu studieren und eine Vereinfachung der verwendeten Methode anzustreben, um Resultate für höhere Dimensionen zu erzielen. Singularisierung: Für 1-dimensionale Kettenbrüche hat Kraaikamp in zahlreichen Arbeiten gezeigt, dass die Methode der Singularisierung zum Verständnis der Beziehungen zwischen verschiedenen Arten von Kettenbrüchen beitragen kann. Schratzberger konnte inzwischen zeigen, dass dieser Weg neue Resultate liefern kann. Diese Untersuchungen sollten aber, auch für höherdimensionale Kettenbrüche, fortgesetzt werden.

In der Zahlentheorie ist die Frage nach der Approximation reeller Zahlen durch rationale Zahlen von größter Bedeutung. Dieses Spezialgebiet wird Diophantische Approximation genannt, zu Ehren des bedeutenden griechischen Mathematikers Diophantos von Alexandria. Im eindimensionalen Fall (Approximation einer reellen Zahl durch rationale Zahlen) steht mit der Theorie der Kettenbrüche ein bewährtes Mittel zur Verfügung, wobei es neben den regulären Kettenbrüchen zahlreiche Varianten gibt. Für den mehrdimensionalen Fall (Approximation von mehreren reellen Zahlen durch rationale Zahlen mit gemeinsamem Nenner) wurden vor allem der Algorithmus von Jacobi-Perron und der Brunsche Algorithmus studiert. In diesem Projekt wurden neue Ergebnisse für den zweidimensionalen Fall erzielt. Es wurde die Methode der Singularisation, die im eindimensionalen Fall verschiedene Varianten der Kettenbrüche miteinander verbindet, auf zweidimensionale Algorithmen ausgedehnt. Es konnte gezeigt werden, dass sich mit Ausnahme einer Menge vom Maß Null der Jacobi-Perronalgorithmus und der Brunsche Algorithmus ineinander konvertieren lassen. Ein interessantes Nebenresultat war die Ausdehnung der Methode von Lévy auf den Brunschen Algorithmus.