Diskrepanz von Digitalen Netzen und Folgen

Eines der Kernthemen auf dem Gebiet der Quasi-Monte Carlo Methoden ist die effiziente Konstruktion von Punktmengen mit niedriger Diskrepanz, d.h. von Punktmengen, die in einem bestimmten Gebiet extrem gut verteilt sind. Die besten Ergebnisse beruhen zur Zeit auf dem Konzept der sogenannten (t,m,s)-Netze und (t,s)-Folgen. Anwendungen finden sich in vielen Bereichen, am populärsten sind derzeit wohl finanzmathematische Anwendungen. Ziel unseres Projektes ist die genaue Untersuchung und Analyse von verschiedenen Konzepten der Diskrepanz von digitalen Netzen und Folgen. Zum einen werden wir uns auf die klassischen Konzepte der Diskrepanz, wie zum Beispiel auf die Sterndiskrepanz, konzentrieren. Wir wollen verschiedene bestehende Resultate verbessern und verallgemeinern. Außerdem wollen wir einige ganz spezielle Punktmengen wie symmetrisierte digitale Folgen oder digitale Shift- Netze genau analysieren. Zum anderen wollen wir uns aber hauptsächlich der Untersuchung eines neu eingeführten Diskrepanzbegriffes widmen, der sogenannten gewichteten Diskrepanz. Erst kürzlich wurde unter Verwendung dieses neuen Konzeptes eine verallgemeinerte Form der bekannten Koksma-Hlawka Ungleichung aufgestellt. Diese nimmt viel mehr Rücksicht auf die Wichtigkeit der verschiedenen Projektionen des vorliegenden Integranden als die herkömmliche Version.

In vielen Anwendungsgebieten der Mathematik benötigt man Punktmengen, die in einem gewissen Sinn extrem gut verteilt sind. Als Beispiel für Anwendungen seien hier Simulationen komplexer physikalischer Vorgänge oder aus dem Gebiet der Finanzmathematik genannt. Die besten Methoden zur Konstruktion von gut verteilten Punktmengen beruhen zur Zeit auf dem Konzept der so genannten (t,m,s)-Netze und (t,s)-Folgen. In diesem Projekt wurden solche Punktmengen genauestens analysiert und auf verschiedene Arten auf die Qualität ihrer Verteilung untersucht. Das wichtigste Gütemaß in diesem Zusammenhang ist die so genannte Sterndiskrepanz, da sie direkt zur Fehlerabschätzung (zum Beispiel in der numerischen Integration) verwendet werden kann. Es wurden aber auch andere Gleichverteilungsmaße untersucht. Es gelang uns, zahlreiche bestehende Resultate zu verbessern und zu verallgemeinern. Insbesondere konnten wir für eine große Klasse von Punktmengen (so genannten digitalen Netzen) bestmögliche Resultate erzielen. In vielen Anwendungen wird für die bereits gut verteilten Punktmengen noch ein gewisses zufälliges Element verlangt. Man spricht dann von randomisierten Punktmengen. Bisherige Methoden zur Randomisierung sind zwar erfolgreich, aber in ihrer Durchführung sehr aufwändig. Es gelang uns, eine Methode zu entwickeln, die sehr einfach am Computer zu implementieren und anzuwenden ist, trotzdem aber Resultate von gleicher Qualität wie für die früheren Methoden liefert.