Nichtkommutative Quantenfeldtheorie

Elementarteilchen und ihre Wechselwirkungen werden in der modernen Physik durch Quantenfeldtheorien beschrieben. Diese basieren auf dem Konzept einer klassischen und flachen Raum-Zeit. Überlegungen im Zusammenhang mit Quantengravitation zeigen jedoch, daß die Raum-Zeit im Kleinen, d.h. für sehr große Energien, in irgendeiner Form "fluktuierend" oder quantisiert sein muß. Solche Quantenfluktuationen des Raums sollten daher in eine Quantenfeldtheorie mit einbezogen werden. Weiters deuten auch die ultraviolett-Divergenzen in der Quantenfeldtheorie auf die Unvollständigkeit unserer Beschreibung von Raum und Zeit hin. Nichkommutative Quantenfeldtheorie (NCFT) ist ein vielversprechender Ansatz, diese Überlegungen zu realisieren. Dabei wird das Konzept der Raum-Zeit grundlegend verändert: NCFT basiert auf dem Konzept eines "nichtkommutativen" oder quantisierten Raums, in dem Punkte oder Orte nicht mehr mit beliebiger Genauigkeit festgelegt werden können, sondern in Analogie zur Quantenmechanik eine minimale Unschärfe besitzen. In den vergangenen Jahren wurden verschiedene Modelle von NCFT auf unterschiedlichen quantisierten Räumen untersucht. Eine der überraschenden Eigenschaften solcher Modelle ist das sogenannte IR/UV-mixing Phänomen. Dabei manifestieren sich die gewohnten ultraviolett-Divergenzen durch neue Divergenzen im Infraroten. Dies ist eine Folge der oben erwähnten Unbestimmtheitsrelationen: Bestimmt man eine Koordinate mit hoher Präzision (UV), so wird eine große Unschärfe (IR) in einer anderen impliziert. Es zeigt sich jedoch, daß dieses IR/UV Phänomen die Renormierbarkeit der Modelle gefährdet. Die Renormierbarkeit konnte bis heute in einem einzigen nichttrivialen Fall bewiesen werden, für eine skalare Feldtheorie auf dem nichtkommutativen (theta-deformierten) 4-dimensionalen Euklidischen Raum, in einer Zusammenarbeit des Antragstellers. Darüberhinaus ist das IR/UV- mixing auch für eine neue Phase der NCFT, der sogenannten "striped phase", verantwortlich. Es bedarf noch viel weiterführender Arbeit, um die Bedeutung und die physikalischen Konsequenzen von NCFT besser zu verstehen. Ein wesentliches Ziel dieses Projektes ist es, das theoretische Verständnis von NCFT zu verbessern. Ein besonders wichtiges und auch schwieriges Problem ist dabei die Renormierbarkeit von nichtkommutativen Eichmodellen. Um dies zu erreichen, werden wir zunächst einfachere Modelle betrachten, insbesondere die selbstduale Version der skalaren Feldtheorie auf dem nichtkommutativen Euklidischen Raum in zwei und vier Dimensionen. Diese Modelle können mit Methoden der Random-Matrix-Theorie bzw. Matrix-Modelle untersucht werden, wofür sehr weitreichende, nichtperturbative Techniken entwickelt wurden. Solche Matrix-Modelle wurden vor Kurzem auch zur Beschreibung von Phasenübergängen in NCFT`s vorgeschlagen. Ein Teil dieses Projektes beschäftigt sich mit der Weiterentwicklung dieser Methoden, deren Anwendung auf andere Modelle der NCFT wie z.B. das Sigma- Modell und das Higgs-Modell, sowie der Kombination mit den bekannten perturbativen Methoden. Ein weiteres Ziel ist die Entwicklung von renormierbaren Skalarfeld-Modellen auf anderen nichtkommutativen Räumen wie z.B. der "Fuzzy Sphere", um ein besseren Verständnisses von NCFT`s und deren physikalischer Bedeutung zu erlangen.

Elementarteilchen und ihre Wechselwirkungen werden in der modernen Physik durch Quantenfeldtheorien beschrieben. Diese basieren auf dem Konzept einer klassischen und flachen Raum-Zeit. Überlegungen im Zusammenhang mit Quantengravitation zeigen jedoch, daß die Raum-Zeit im Kleinen, d.h. für sehr große Energien, in irgendeiner Form "fluktuierend" oder quantisiert sein muß. Solche Quantenfluktuationen des Raums sollten daher in eine Quantenfeldtheorie mit einbezogen werden. Weiters deuten auch die ultraviolett-Divergenzen in der Quantenfeldtheorie auf die Unvollständigkeit unserer Beschreibung von Raum und Zeit hin. Nichkommutative Quantenfeldtheorie (NCFT) ist ein vielversprechender Ansatz, diese Überlegungen zu realisieren. Dabei wird das Konzept der Raum-Zeit grundlegend verändert: NCFT basiert auf dem Konzept eines "nichtkommutativen" oder quantisierten Raums, in dem Punkte oder Orte nicht mehr mit beliebiger Genauigkeit festgelegt werden können, sondern in Analogie zur Quantenmechanik eine minimale Unschärfe besitzen. In den vergangenen Jahren wurden verschiedene Modelle von NCFT auf unterschiedlichen quantisierten Räumen untersucht. Eine der überraschenden Eigenschaften solcher Modelle ist das sogenannte IR/UV-mixing Phänomen. Dabei manifestieren sich die gewohnten ultraviolett-Divergenzen durch neue Divergenzen im Infraroten. Dies ist eine Folge der oben erwähnten Unbestimmtheitsrelationen: Bestimmt man eine Koordinate mit hoher Präzision (UV), so wird eine große Unschärfe (IR) in einer anderen impliziert. Es zeigt sich jedoch, daß dieses IR/UV Phänomen die Renormierbarkeit der Modelle gefährdet. Die Renormierbarkeit konnte bis heute in einem einzigen nichttrivialen Fall bewiesen werden, für eine skalare Feldtheorie auf dem nichtkommutativen (theta-deformierten) 4-dimensionalen Euklidischen Raum, in einer Zusammenarbeit des Antragstellers. Darüberhinaus ist das IR/UV- mixing auch für eine neue Phase der NCFT, der sogenannten "striped phase", verantwortlich. Es bedarf noch viel weiterführender Arbeit, um die Bedeutung und die physikalischen Konsequenzen von NCFT besser zu verstehen. Ein wesentliches Ziel dieses Projektes ist es, das theoretische Verständnis von NCFT zu verbessern. Ein besonders wichtiges und auch schwieriges Problem ist dabei die Renormierbarkeit von nichtkommutativen Eichmodellen. Um dies zu erreichen, werden wir zunächst einfachere Modelle betrachten, insbesondere die selbstduale Version der skalaren Feldtheorie auf dem nichtkommutativen Euklidischen Raum in zwei und vier Dimensionen. Diese Modelle können mit Methoden der Random-Matrix-Theorie bzw. Matrix-Modelle untersucht werden, wofür sehr weitreichende, nichtperturbative Techniken entwickelt wurden. Solche Matrix-Modelle wurden vor Kurzem auch zur Beschreibung von Phasenübergängen in NCFT`s vorgeschlagen. Ein Teil dieses Projektes beschäftigt sich mit der Weiterentwicklung dieser Methoden, deren Anwendung auf andere Modelle der NCFT wie z.B. das Sigma- Modell und das Higgs-Modell, sowie der Kombination mit den bekannten perturbativen Methoden. Ein weiteres Ziel ist die Entwicklung von renormierbaren Skalarfeld-Modellen auf anderen nichtkommutativen Räumen wie z.B. der "Fuzzy Sphere", um ein besseren Verständnisses von NCFT`s und deren physikalischer Bedeutung zu erlangen.