Faktorisierungen von ganz-algebraischen Zahlen

Nach dem Hauptsatz der Arithmetik hat jede natürliche Zahl eine (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlen. Im Ganzheitsring eines algebraischen Zahlkörpers ist zwar ebenfalls jede von Null verschiedene Nichteinheit ein Produkt endlich vieler unzerlegbarer Elemente (Atome), aber im Allgemeinen gibt es viele solcher Darstellungen. In der Algebraischen Zahlentheorie des 19. Jahrhunderts führte das zur Entwicklung der Dedekind`schen Idealtheorie und der Kronecker`schen Divisorentheorie. Erst in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts (beginnend mit der Charakterisierung algebraischer Zahlkörper mit Klassenzahl 2 durch Carlitz und den Untersuchungen von Narkiewicz) wurden die Phänomene der Nicht- Eindeutigkeit von Faktorisierungen in systematischer Weise studiert. Diese Untersuchungen betrafen zunächst Ganzheitsringe algebraischer Zahlkörper, aber bald stellte sich heraus, dass ähnliche Probleme für allgemeinere Integritätsbereiche, für (kürzbare multiplikative) Monoide, für Nullsummenfolgen in abelschen Gruppen und für viele Kategorien endlich erzeugter Moduln auftreten. Im Rahmen der sich daraus entwickelten Theorie der nicht- eindeutigen Faktorisierungen (seit 20 Jahren Forschungsgebiet der Arbeitsgruppe Algebra und Zahlentheorie der Universität Graz) ist das vorliegende Projekt angesiedelt. In diesem Projekt sollen vorrangig die folgenden Fragen untersucht werden: Algebraische Zahlen mit übersichtlich strukturierten Mengen von Faktorisierungen und deren Häufigkeit in Ordnungen algebraischer Zahlkörper; die Struktur halbfaktorieller Ordnungen algebraischer Zahl- und Funktionenkörper; der Zusammenhang zwischen Phänomenen der nicht-eindeutigen Faktorisierungen (insbesondere der Struktur der Längenmengen von Faktorisierungen) und der Struktur der Klassengruppen; der Zusammenhang zwischen Faktorisierungsproblemen und den Kronecker`schen und Nagata`schen Funktionalringen von (beliebigen) Integritätsbereichen. Dabei werden die arithmetischen Untersuchungen in geeigneten Hilfsmonoiden (endlich erzeugte und endlich primäre Monoide, C-Monoide) durchgeführt und die dabei gewonnenen Resultate mittels Transferprinzipien angewandt. Struktur der Nullsummenfolgen in abelschen Gruppen. Dabei interessieren wir uns vor allem für halbfaktorielle Teilmengen abelscher Gruppen und die dadurch definierten kombinatorischen Invarianten; für die Struktur von Nullsummenfolgen mit extemalen Eigenschaften ( insbesondere in Gruppen vom Rang 2); für kombinatorische Invarianten der Additiven Gruppentheorie, welche in den asymptotischen Formeln der analytischen Theorie der nicht-eindeutigen Faktorisierungen algebraischer Zahlen auftreten. Direkte Summenzerlegungen endlich erzeugter Moduln. Die Abweichungen einer (unter endlichen direkten Summen abgeschlossenen) additiven Kategorie vom Satz von Krull-Remak-Schmidt werden als nicht-eindeutige Faktorisierungen interpretiert und im Rahmen dieser Theorie untersucht. Wir untersuchen Kürzbarkeit aus direkten Summen (im torsionsfreien und im allgemeinen Fall), insbesondere für endlich erzeugte Moduln über Ordnungen algebraischer Zahlkörper; Konstruktionsverfahren für (große) unzerlegbare Moduln (unter möglichst allgemeinen Bedingungen); die Struktur von Modulkategorien, welche Krullmonoide liefern und den Zusammenhang zwischen der Arithmetik des Krullmonoids und der Idealtheorie des zu Grunde liegenden Basisringes.

Nach dem Hauptsatz der Arithmetik hat jede natürliche Zahl eine (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlen. Im Ganzheitsring eines alge-braischen Zahlkörpers ist zwar ebenfalls jede von Null verschiedene Nichteinheit ein Produkt endlich vieler unzerlegbarer Elemente (Atome), aber im Allgemeinen gibt es viele solcher Darstellungen. In der Algebraischen Zahlentheorie des 19. Jahrhunderts führte das zur Ent-wicklung der Dedekind`schen Idealtheorie und der Kronecker`schen Divisorentheorie. Erst in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts (beginnend mit der Charakterisierung algebrai-scher Zahlkörper mit Klassenzahl 2 durch Carlitz und den Untersuchungen von Narkiewicz) wurden die Phänomene der Nicht- Eindeutigkeit von Faktorisierungen in systematischer Weise studiert. Diese Untersuchungen betrafen zunächst Ganzheitsringe algebraischer Zahlkörper, aber bald stellte sich heraus, dass ähnliche Probleme für allgemeinere Integritätsbereiche, für (kürzbare multiplikative) Monoide, für Nullsummenfolgen in abelschen Gruppen und für vie-le Kategorien endlich erzeugter Moduln auftreten. Im Rahmen der sich daraus entwickelten Theorie der nicht- eindeutigen Faktorisierungen (seit 20 Jahren Forschungsgebiet der Arbeits-gruppe Algebra und Zahlentheorie der Universität Graz) ist das vorliegende Projekt angesie-delt. In diesem Projekt sollen vorrangig die folgenden Fragen untersucht werden: Algebraische Zahlen mit übersichtlich strukturierten Mengen von Faktorisierungen und deren Häufigkeit in Ordnungen algebraischer Zahlkörper; die Struktur halbfaktorieller Ordnungen algebraischer Zahl- und Funktionenkörper; der Zusammenhang zwischen Phänomenen der nicht-eindeutigen Faktorisierungen (insbesondere der Struktur der Längenmengen von Fakto-risierungen) und der Struktur der Klassengruppen; der Zusammenhang zwischen Faktorisie-rungsproblemen und den Kronecker`schen und Nagata`schen Funktionalringen von (beliebi-gen) Integritätsbereichen. Dabei werden die arithmetischen Untersuchungen in geeigneten Hilfsmonoiden (endlich erzeugte und endlich primäre Monoide, C-Monoide) durchgeführt und die dabei gewonnenen Resultate mittels Transferprinzipien angewandt. Struktur der Nullsummenfolgen in abelschen Gruppen. Dabei interessieren wir uns vor allem für halbfaktorielle Teilmengen abelscher Gruppen und die dadurch definierten kombinatori-schen Invarianten; für die Struktur von Nullsummenfolgen mit extemalen Eigenschaften ( ins-besondere in Gruppen vom Rang 2); für kombinatorische Invarianten der Additiven Gruppen-theorie, welche in den asymptotischen Formeln der analytischen Theorie der nicht-eindeuti-gen Faktorisierungen algebraischer Zahlen auftreten. Direkte Summenzerlegungen endlich erzeugter Moduln. Die Abweichungen einer (unter end-lichen direkten Summen abgeschlossenen) additiven Kategorie vom Satz von Krull-Remak-Schmidt werden als nicht-eindeutige Faktorisierungen interpretiert und im Rahmen dieser Theorie untersucht. Wir untersuchen Kürzbarkeit aus direkten Summen (im torsionsfreien und im allgemeinen Fall), insbesondere für endlich erzeugte Moduln über Ordnungen algebrai-scher Zahlkörper; Konstruktionsverfahren für (große) unzerlegbare Moduln (unter möglichst allgemeinen Bedingungen); die Struktur von Modulkategorien, welche Krullmonoide liefern und den Zusammenhang zwischen der Arithmetik des Krullmonoids und der Idealtheorie des zu Grunde liegenden Basisringes.