Optimierte Kontrolle von Offenen Quantensystemen

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Theorie der (optimalen) Steuerung von Quantensystemen, wie sie unter anderem von grundlegender Bedeutung fuer die Implementierung von Quantenalgorithmen und dem Betrieb von nanostrukturierten (elektronischen) Bauelementen ist. Zwei Hauptziele sind gesetzt: Steuerung eines Quantensystems und das Einfangen ("trapping") in einen Quantenzustand mittels externer Steuerung. Diese Arbeit hat mehrere Komponenten: Optimale kohaerente Steuerung wird für offene Quantensysteme formuliert. Offene (d.h., reale) Quantensysteme werden durch nicht-Markovsche kinetische Gleichungen - anstatt der Schroedinger oder der von Neumann Gleichung - beschrieben. Diese Differentialgleichungen dienen als Zusatzbedingung zum Kostenfunktional, das die zu optimierende physikalische Groesse repraesentiert. Wir verwenden die Variationsmethode und das Pontryagin`sche Minimierungsprinzip, um diese Optimierungsaufgabe zu loesen. Traegt man der nicht- Markovschen Natur des Systemes Rechnung, so erhöht sich einerseits die Komplexitaet des Optimierungsproblems, andererseits aber öffnen sich zusaetzliche Kanaele fuer die Quantensteuerung und folglich erhöht sich das Potential für erfolgreiche Steuerung. Letzteres wird im zweiten Schritt dieser Arbeit an ausgewaehlten Beispielen studiert. Wir untersuchen die Möglichkeit einer erhöhten Stabilisation sowie einer verbesserten dynamischen Steuerung offener Quantensysteme, wie zum Beispiel gekoppelter Elektron-Phonon-Systeme, durch Minimierung dissipativer Prozesse mittels Quanteninterferenzkanaele in der System-Bad (System-Umgebung) Kopplung, die durch die Anwendung externer elektromagnetischer Kontrollfelder geöffnet werden. Denn auf hinreichend kurzen Zeitskalen und mikroskopisch betrachtet stellt jede mögliche System-Umgebung Interaktion einen Quantenprozeß dar und gehorcht daher dem Quanteninterferenzprinzip. Als einfachstes Beispiel wird ein Spin (=System) in einem Phononbad (=Bad, Umgebung) analytisch und numerisch studiert. Dieses einfachste Beispiel wird auf ein Modell für zwei Spins in einem Phononenbad erweitert. Eine Studie dieses 2-qubit Modelles fuer ein fundamentales dissipatives Quantengatter wird bezueglich seiner Steuerbarkeit durchgefuehrt. Das Einfangen in einen Rein-, Misch- und verschraenkten Zustand wird als Funktion des Kontrollfeldes optimiert. Kinetische Gleichungen werden mittels zweier Standardzugaenge erhalten: der Projektormethode und den 6Dichtematrixformalismus. Optimierung wird mittels mehrerer numerischer Zugaenge, wie z.B. der Konjugierten Gradientenmethode und des Genetischen Algorithmus durchgeführt. Optimierungsstrategien basieren dabei sowohl auf allgemeinen Pulsprofilen als auch auf parametrisierten Sequenzen von Gauß`schen Wellenpaketen. Parallel dazu versuchen wir, kohaerente Steuerung von komplizierten Vielkoerpersystemen zu optimieren. Wir studieren optimierte kohaerente Steuerung der Elektronendynamik und ihren Einfluss auf optische Eigenschaften von Halbleiterheterostrukturen innerhalb einer mikroskopischen Theorie, die sowohl der Elektron-Elektron- und Elektron-Phonon-Interaktion Rechnung traegt. Wegen der Komplexitaet des Problems, sowohl bezueglich physikalischer Zusammenhaenge und des numerischen Aufwandes, wird zunaechst ein iteratives direktes Optimierungsverfahren verwendet, in dem Wechselwirkungsprozesse sukzessive zwischen den Iterationen hinzugefügt werden. Dabei wird der Fermiflüssigkeitscharakter des Systems verwendet. Auf diese Weise werden optimale Pulseigenschaften ermittelt, um optischen Gewinn oder Verlust ueber Quanteninterferenzprozesse zu erzielen.

Dieses Projekt hat sich mit der theoretischen Untersuchung der optimalen kohärenten Steuerung offener Quantensysteme in Form von Quantenbits (Qubits) und Quantengatter (Doppelqubits) beschäftigt. Qubits bilden die Basisbausteine für die Formulierung und Implementierung von Quanteninformationsverarbeitung, d.h. auf Quantendynamik basierender Datenverarbeitung. Es ist schon seit einiger Zeit bekannt, dass unter Verwendung des Parallelismus, der der Quantendynamik eigen ist, gewisse Quanten-Algorithmen vorteilhafter skalieren als jene Algorithmen, die dieselbe Aufgabe auf klassischen Computern abarbeiten. Hauptproblem in der Realisierung von Quantenrechnern sind dissipative Effekte ausgehend vom Bad (der Umgebung), die wegen der unver-meidlichen Kopplung des Quantensystems zu seiner Umwelt auftreten und Quantendynamik längerfristig zerstören. Ernste Probleme entstehen auch, wenn die Komplexität der Qubit-Netzwerke erhöht wird (Skalierungsproblem). Das Design von Qubits und von Quantengattern hoher Güte ist von äußerst wichtiger Bedeutung, um die Notwendigkeit von Quantenfehlerkorrektur zu mindern bzw. erst sinnvoll zu machen. Letztere erhöht die Zahl der benötigten Qubits i. a. exponentiell. In diesem Projekt haben wir das Problem unerwünschter System-Bad Interaktion und seine Konsequenzen auf die Leistung von Qubits behandelt. Ziel war es, das Quantensystem auf solch eine Art zu steuern, dass Badeffekte herabgesetzt und die gewünschte Gatteroperation mit jener optimalen Güte durchgeführt wird, die mit der physikalischen Qubit Realisierung kompatibel ist. Für dieses Vorhaben haben wir innerhalb eines mikroskopischen Modells die Interaktion der jeweiligen Quanten-gatter-Realisierungen mit seiner Umwelt quantitativ studiert und haben Leistungs-abschätzungen durchgeführt, um derzeitige und zukünftige experimentelle Bemühungen zu unterstützen. Wir mussten zunächst optimale Kontrolltheorie zur (Zustands-unabhängigen) Steuerung dissipativer Quantensysteme entwickeln und haben drei Lösungswege entwickelt. Dies hat es uns dann ermöglicht, die optimale Leistung einer konkreten Qubitrealisierung quantitativ abzuschätzen. Speziell studierten wir supraleitende Qubits (Josephson Ladungsqubits) und selbst-assemblierte InGaAs/GaAs Quantenpunktmoleküle. Abgesehen von der Entwicklung der Formulierungen von Zustands-unabhängiger optimaler Kontrolltheorie für offene Quantensysteme, haben unsere Studien ergeben, dass, gegensätzlich zu einigen Mutmassungen in der Literatur, auch Josephson Ladungs-Qubits ähnliches Leistungsverhalten wie andere supraleitende Qubits (z.B. das Fluss Qubit) haben sollten. Wir haben auch eine Loch Qubit Realisierung in einem Quantenpunktmolekül vorgeschlagen und evaluiert. Dieses kombiniert, im Vergleich zur Elektron-Spin Realisation, die Vorteile niedrigerer Dekohärenzraten mit elektrischer Steuerung mittels g-Tensor Kontrolle. Da derartige Strukturen bereits gewachsen werden können und reine elektrisch steuerbar sind, ist zu hoffen, dass experimentelle Verifikation erfolgen wird.