Finite Elemente für Optimalsteuerprobleme mit Singularitäten

Die Optimierung von technologischen Prozessen spielt eine immer bedeutendere Rolle. Viele dieser Prozesse werden durch partielle Differentialgleichungen beschrieben. Außerdem gilt es zusätzliche Beschränkungen zu erfüllen, die einen stabilen Ablauf solcher Prozesse ermöglichen. Diese Zwangsbedingungen treten häufig als punktweise Ungleichungsnebenbedingungen auf. Dieses Projekt beschäftigt sich insbesondere mit der Optimierung von Systemen von elliptischen und parabolischen Differentialgleichungen. Von speziellem Interesse sind Probleme mit allen möglichen Arten von Singularitäten: einspringende Ecken, nichtglatte Koeffizienten, kleine Parameter. Außerdem erzeugen punkweise Ungleichungsnebenbedingungen zusätzliche Singularitäten, deren Lokalisierung a priori unbekannt ist. Das Projekt verfolgt zwei strategische Ziele. Erstens, ausgehend von a priori Informationen werden Familien von Gittern generiert, für die man optimale Approximationsordnung nachweisen kann. Zweitens, a posteriori Fehlerschätzer sollen entwickelt werden, die zuverlässig in Theorie und Praxis arbeiten. Diese Fehlerschätzer bilden die Grundlage für adaptive Gitterverfeinerungen. Die neue Herausforderung, der sich dieses Projekt stellt, ist die Einbeziehung von punktweisen Ungleichungsnebenbedingungen in adaptive Strategien. Ein wesentlicher Aspekt ist dabei, dass der Übergang von Gebieten mit aktiver Ungleichungsnebenbedingung und inaktiver selbst wieder Singularitäten in der Lösung erzeugt. Die so erzeugten Singularitäten können im Fall von Zustandsbeschränkungen die Theorie und die Numerik vor große Herausforderungen stellen. Beide Strategien gewährleisten die effiziente und verlässliche Berechnung numerischer Resultate. In diesem Projekt werden neue und effiziente Diskretisierungsverfahren für Optimalsteuerprobleme entwickelt.. Das Projekt leistet damit einen wichtigen Beitrag für das ultimative Ziel, praktisch relevante Optimalsteuerprobleme mit gegebener Genauigkeit unter geringem Aufwand zu lösen.

Die Optimierung von technologischen Prozessen spielt eine immer bedeutendere Rolle. Viele dieser Prozesse werden durch partielle Differentialgleichungen beschrieben. Außerdem gilt es zusätzliche Beschränkungen zu erfüllen, die einen stabilen Ablauf solcher Prozesse ermöglichen. Diese Zwangsbedingungen treten häufig als punktweise Ungleichungsnebenbedingungen auf. Dieses Projekt beschäftigt sich insbesondere mit der Optimierung von Systemen von elliptischen und parabolischen Differentialgleichungen. Von speziellem Interesse sind Probleme mit allen möglichen Arten von Singularitäten: einspringende Ecken, nichtglatte Koeffizienten, kleine Parameter. Außerdem erzeugen punkweise Ungleichungsnebenbedingungen zusätzliche Singularitäten, deren Lokalisierung a priori unbekannt ist. Das Projekt verfolgt zwei strategische Ziele. Erstens, ausgehend von a priori Informationen werden Familien von Gittern generiert, für die man optimale Approximationsordnung nachweisen kann. Zweitens, a posteriori Fehlerschätzer sollen entwickelt werden, die zuverlässig in Theorie und Praxis arbeiten. Diese Fehlerschätzer bilden die Grundlage für adaptive Gitterverfeinerungen. Die neue Herausforderung, der sich dieses Projekt stellt, ist die Einbeziehung von punktweisen Ungleichungsnebenbedingungen in adaptive Strategien. Ein wesentlicher Aspekt ist dabei, dass der Übergang von Gebieten mit aktiver Ungleichungsnebenbedingung und inaktiver selbst wieder Singularitäten in der Lösung erzeugt. Die so erzeugten Singularitäten können im Fall von Zustandsbeschränkungen die Theorie und die Numerik vor große Herausforderungen stellen. Beide Strategien gewährleisten die effiziente und verlässliche Berechnung numerischer Resultate. In diesem Projekt werden neue und effiziente Diskretisierungsverfahren für Optimalsteuerprobleme entwickelt.. Das Projekt leistet damit einen wichtigen Beitrag für das ultimative Ziel, praktisch relevante Optimalsteuerprobleme mit gegebener Genauigkeit unter geringem Aufwand zu lösen.