Konstruktive mehrdimensionale Systemtheorie

Das Projekt ist eine Fortsetzung unserer Forschungen in den kürzlich eingereichten Arbeiten Stability and Stabilization of Multidimensional Input/Output (IO-) Systems (Stabilisierungsarbeit) und Canonical State Representations and Hilbert Functions of Multidimensional Systems (Zustandsarbeit) über multidimensionale Systeme, welche durch lineare Systeme partieller Differenzialgleichungen (kontinuierlicher Fall) bzw. Differenzengleichungen (diskreter Fall) mit konstanten Koeffizienten beschrieben werden. Das Projekt besteht aus theoretischen Teilen und der Weiterentwicklung und Implementierung in MAPLE der in diesen Arbeiten enthaltenen Algorithmen. Die Neuigkeit unserer Stabilisierungsmethode, selbst für eindimensionale Systeme, liegt in der Untersuchung von kontinuierlichen und diskreten IO-Systemen und nicht, wie üblich, von diskreten IO-Abbildungen oder Transfermatrizen. In der Literatur werden diskrete Transfermatrizen üblicherweise als eigentlich angenommen. Diese Annahme wurde in der Stabilisierungsarbeit nicht gemacht, ist aber wichtig für eindimensionale und viele diskrete mehrdimensionale IO-Systeme. Ein wesentliches Ziel des Projektes ist daher in Analogie zur Stabilisierungsarbeit die eigentliche Stabilisierung von IO-Systemen in dem Sinn, dass das stabile Rückkopplungssystem eine eigentliche Transfermatrix haben soll. Soweit wie möglich sollen die Algorithmen der Stabilisierungsarbeit und ihre Gegenstücke für den stabilen eigentlichen Fall in MAPLE implementiert werden. Das Hauptergebnis der Zustandsarbeit ist die Konstruktion der kanonischen und normalen Zustandsdarstellung eines multidimensionalen Systems, welche als Nebenprodukt einen neuen Algorithmus zur Berechnung der Hilbertfunktion liefert. Eine substanzielle Aufgabe des neuen Projektes besteht in der Implementierung aller Algorithmen der Zustandsarbeit für alle Dimensionen inklusive der konstruktiven Lösung des analytischen Cauchy- Problems für allgemeine mehrdimensionale Zustandssysteme. Weitere theoretische Arbeit betrifft die Charakterisierung der Systeme, deren normale Zustandsdarstellung von erster Ordnung ist, und das (schwierige) nicht-analytische Cauchy-Problem für die allgemeinen Zustandssysteme der Zustandsarbeit. Einige Teile der oben beschriebenen Forschungen sollen in die Doktorarbeit von M. Scheicher eingehen. Die Sätze und Algorithmen der zwei Arbeiten sind auch für eindimensionale Systeme neu. Eine oder zwei Diplomarbeiten sollen der Implementierung der Algorithmen in MAPLE, der Ausarbeitung der eigentlichen Stabilisierungstheorie und der Konstruktion weiterer Zustandsdarstellungen in diesem wichtigen klassischen Fall gewidmet werden. Diese Spezialisierung in Ergänzung zum oben beschriebenen mehrdimensionalen Fall ist gerechtfertigt, da weder grundlegende theoretische noch algorithmische Probleme und andererseits vollständigere Resultate in diesem Standardfall zu erwarten sind. Diese Ergebnisse sollen in geplante Lecture Notes des Antragstellers über eindimensionale Systemtheorie für Mathematiker eingehen, die in handschriftlicher Form schon weitgehend vorhanden sind.

Dieses Projekt war eine Fortsetzung der Arbeiten "Stability and Stabilization of Multidimensional Input/Output Systems" und "Canonical State Representations and Hilbert Functions of Multidimensional Systems" des Projektleiters über multidimensionale Systeme, die durch Systeme linearer partieller Differentialgleichungen (kontinuierlicher Fall) oder Differenzengleichungen (diskreter Fall) beschrieben werden. Derartige Gleichungssysteme treten auf u.a. in der Physik (z.B. die Maxwellgleichungen in der Elektrodynamik und die Navier-Stokes-Gleichungen in der Hydrodynamik), in der digitalen Bildbearbeitung (Filter, mit denen man Bilder schärft) und in den Ingenieurswissenschaften (Analyse und Synthese elektrischer Netzwerke, Entwurf von Steuerungsgeräten für Maschinen wie z.B. des Tempomats im Auto). Das zentrale Resultat bezüglich des erstgenannten Artikels ist die Verfeinerung der dort publizierten Vorgehensweise, mehrdimensionale Eingabe/Ausgabe Systeme zu stabilisieren. Die neuen Methoden berücksichtigen die Forderung nach eigentlichen Transfermatrizen des resultierenden Rückkopplungssystems und des Reglers. Die neu entwickelten Algorithmen sowie die im zweitgenannten Artikel beschriebenen wurden im Computeralgebrasystem SINGULAR implementiert. Abgesehen davon wurden im Rahmen dieses Projektes wesentliche Ergebnisse bezüglich der Herleitung einer Impulsantwort für multidimensionale Systeme im kontinuierlichen Fall erzielt. Stellt man sich ein multidimensionales System als eine Maschine vor, die sich anfangs im Ruhezustand befindet und aus einer Eingabe eine Ausgabe produziert, so kann man die Ausgabe mithilfe der Eingabe und der Impulsantwort berechnen und so das Verhalten der Maschine vorhersagen. Unter Verwendung dieser Resultate waren wir imstande, Jurys Vermutung bezüglich der BIBO (bounded input/bounded output, beschränkte Eingabe/beschränkte Ausgabe) Stabilität mehrdimensionaler kontinuierlicher Systeme zu beweisen, die über 20 Jahre lang eine offene Frage war. Konkret lösten wir folgende Frage: Welche Eigenschaften muss ein System haben, damit jede beschränkte Eingabe zu einer beschränkten Ausgabe führt? In den Anwendungsbereichen ist BIBO Stabilität essentiell, da ansonsten einige Komponenten des Systems unbeschränkt große Werte annehmen können, was zur Beschädigung oder Zerstörung der durch die Gleichungen beschriebenen Maschine führt. Der Schwerpunkt dieses Projektes lag auf den mathematischen Aspekten der Systemtheorie, ein Fachgebiet mit einer breiten Palette von Anwendungsbereichen, wie aus der Auflistung im ersten Absatz ersichtlich ist. Aus diesem Grund wird es einige Zeit dauern, bis unsere Ergebnisse und Algorithmen von Anwendern aufgegriffen werden. Nachdem es aber mit unseren Resultaten möglich ist zu berechnen, was bisher noch nicht ausgerechnet werden konnte, sind wir zuversichtlich, dass langfristig unsere Algorithmen regelmäßig angewandt werden.