Lösen algebraischer Gleichungen

Ziel des Projektes ist es, Werkzeuge und Techniken für Konstruktion und geometrisches Verständnis von Lösungsvarietäten polynomialer Gleichungen bereitzustellen; insbesondere für Varietäten mit Singularitäten. Hauptaugenmerk liegt dabei auf Lösungen in reellen affinen Räumen, in Potenzreihenräumen und in p-adischen Räumen. Je nachdem welche Information über den Lösungsraum wir gewinnen wollen, liegen unterschiedliche Teilziele vor: Visuelle Erscheinung: Es sollen qualitative Kriterien zur Klassifizierung geometrischer Eigenschaften, welche das visuelle Erscheinungsbild (z. B. Kegel, verschwindende Zykel, ...) bestimmen, gefunden und Algorithmen zu deren Überprüfung angegeben werden. Arc Spaces: Die Theorie der Potenzreihenlösungen algebraischer Gleichungen liefert bis jetzt meist nur Existenzaussagen. Wir wollen versuchen sie - soweit möglich - konstruktiv zu machen. Etwas genauer: Es ist bekannt, dass das Lösen von Gleichungssytemen modulo hoher Terme eine Potenzreihenlösung liefert. Dazu wollen wir die auftretenden Schranken explizit berechnen und effiziente Methoden zur Berechnung der Lösungen (von dieser Ordnung bis zu beliebig höheren) entwickeln. Ebenso soll dies für singuläre Situationen und den Fall mehrerer Variablen behandelt werden. Faserungen: Es werden Algorithmen entwickelt, um natürlicher Familien von algebraischen Varietäten, die eine gegebene erzeugen, zu erkennen. Zusätzlich zu diesen theoretischen und rechnerischen Zielsetzungen sollen Techniken zur Herstellung von Medien entstehen, die algebraische Varietäten einem Publikum innerhalb und außerhalb der mathematischen Gemeinschaft näher bringen.

Ziel des Projektes ist es, Werkzeuge und Techniken für Konstruktion und geometrisches Verständnis von Lösungsvarietäten polynomialer Gleichungen bereitzustellen; insbesondere für Varietäten mit Singularitäten. Hauptaugenmerk liegt dabei auf Lösungen in reellen affinen Räumen, in Potenzreihenräumen und in p-adischen Räumen. Je nachdem welche Information über den Lösungsraum wir gewinnen wollen, liegen unterschiedliche Teilziele vor: Visuelle Erscheinung: Es sollen qualitative Kriterien zur Klassifizierung geometrischer Eigenschaften, welche das visuelle Erscheinungsbild (z. B. Kegel, verschwindende Zykel, ...) bestimmen, gefunden und Algorithmen zu deren Überprüfung angegeben werden. Arc Spaces: Die Theorie der Potenzreihenlösungen algebraischer Gleichungen liefert bis jetzt meist nur Existenzaussagen. Wir wollen versuchen sie - soweit möglich - konstruktiv zu machen. Etwas genauer: Es ist bekannt, dass das Lösen von Gleichungssytemen modulo hoher Terme eine Potenzreihenlösung liefert. Dazu wollen wir die auftretenden Schranken explizit berechnen und effiziente Methoden zur Berechnung der Lösungen (von dieser Ordnung bis zu beliebig höheren) entwickeln. Ebenso soll dies für singuläre Situationen und den Fall mehrerer Variablen behandelt werden. Faserungen: Es werden Algorithmen entwickelt, um natürlicher Familien von algebraischen Varietäten, die eine gegebene erzeugen, zu erkennen. Zusätzlich zu diesen theoretischen und rechnerischen Zielsetzungen sollen Techniken zur Herstellung von Medien entstehen, die algebraische Varietäten einem Publikum innerhalb und außerhalb der mathematischen Gemeinschaft näher bringen.