Attraktoren von nichtlinearen hamiltonischen Gleichungen

Das Ziel dieses Forschungsprojektes ist die rigorose Analyse des asymptotischen Langzeitverhal-tens von nichtlinearen hyperbolischen partiellen Differentialgleichungen (PDG). Diese Analyse ist vor allem durch mathematische Probleme der Quantenmechanik motiviert. Das konkrete Ziel unserer Untersuchung ist es, bestimmte grundlegende Quantenphänomene als inhärente mathematische Eigenschaften der entsprechenden hyperbolischen PDG zu erklären. In diesem Sinne sollten zum Beispiel die Bohrschen Übergänge zwischen verschiedenen Quantenzuständen der Konvergenz aller Lösungen der relevanten PDG zu stationären Zuständen entsprechen. Analog sollte der Welle-Teilchen-Dualismus (d.h., das wellenartige Verhalten eines Systems zu endlicher Zeit, welches sich asymptotisch in ein System von Teilchen entwickelt) der Konvergenz aller Lösungen endlicher Energie der relevanten PDG zu einer Anzahl von Solitonen sowie zu Strahlung entsprechen. Unser allgemeines Ziel ist es, die Theorie der hyperbolischen PDG weiterzuentwickeln, und mathematisch befriedigende Erklärungen für die oben erwähnten physikalischen Probleme zu finden. Hierfür wollen wir die folgenden drei Vermutungen für die jeweils physikalisch relevanten. Klassen von hyperbolischen PDG beweisen: i) Für Systeme, die in einem endlichen Raumbereich eingeschlossen sind und eine U(1) -symmetrie besitzen, konvergieren alle Lösungen endlicher Energie zu stationären Zuständen. ii) Für translationsinvariante Systeme konvergiert jede Lösung endlicher Energie asymptotisch zu einer endlichen Anzahl von Solitonen sowie einer gestreuten, divergierenden freien Welle. iii) Die Bewegung von Solitonen in einem langsam variierenden äußeren Potential wird durch adiabatische effektive Dynamik bestimmt.Die verwendeten mathematischen Methoden beinhalten unter anderem langfristige Konvergenz in den lokale Seminormen der Energie (die für physikalische Systeme mit Strahlung relevant sind), die Wiener-Bedingung für Koppelungsfunktion (die es ermöglicht, die üblicherweise verwendete Bedingung hinreichend kleiner Koppelungsfunktion zu vermeiden), sowie weitere, fortgeschrittenere moderne Techniken, die in den letzten Jahren von einigen Forschungsteams entwickelt wurden, unter anderem auch von den hauptsächlichen Mitarbeitern dieses Projektes: symplectische Geometrie in der Hilbertphasenräum der nichtlinearen PDG, der Zeiterfall für linearisierte Probleme, Lokalisation der Resonanzbezeichnungen, usw. Dieses Forschungsprojekt wird daher bedeutende Vorteile aus der Expertise ziehen, welche seine hauptsächlichen Mitarbeiter in den letzten Jahren erworben haben. Das Projekt umfasst Teams in Wien, München, Moskau, St. Petersburg, Cambridge, sowie in den USA. Signifikante Beiträge zu einigen fundamentalen Problemen der mathematischen Physik können daher erwartet werden.

Das Ziel dieses Forschungsprojektes ist die rigorose Analyse des asymptotischen Langzeitverhal-tens von nichtlinearen hyperbolischen partiellen Differentialgleichungen (PDG). Diese Analyse ist vor allem durch mathematische Probleme der Quantenmechanik motiviert. Das konkrete Ziel unserer Untersuchung ist es, bestimmte grundlegende Quantenphänomene als inhärente mathematische Eigenschaften der entsprechenden hyperbolischen PDG zu erklären. In diesem Sinne sollten zum Beispiel die Bohrschen Übergänge zwischen verschiedenen Quantenzuständen der Konvergenz aller Lösungen der relevanten PDG zu stationären Zuständen entsprechen. Analog sollte der Welle-Teilchen-Dualismus (d.h., das wellenartige Verhalten eines Systems zu endlicher Zeit, welches sich asymptotisch in ein System von Teilchen entwickelt) der Konvergenz aller Lösungen endlicher Energie der relevanten PDG zu einer Anzahl von Solitonen sowie zu Strahlung entsprechen. Unser allgemeines Ziel ist es, die Theorie der hyperbolischen PDG weiterzuentwickeln, und mathematisch befriedigende Erklärungen für die oben erwähnten physikalischen Probleme zu finden. Hierfür wollen wir die folgenden drei Vermutungen für die jeweils physikalisch relevanten. Klassen von hyperbolischen PDG beweisen: i) Für Systeme, die in einem endlichen Raumbereich eingeschlossen sind und eine U(1) -symmetrie besitzen, konvergieren alle Lösungen endlicher Energie zu stationären Zuständen. ii) Für translationsinvariante Systeme konvergiert jede Lösung endlicher Energie asymptotisch zu einer endlichen Anzahl von Solitonen sowie einer gestreuten, divergierenden freien Welle. iii) Die Bewegung von Solitonen in einem langsam variierenden äußeren Potential wird durch adiabatische effektive Dynamik bestimmt.Die verwendeten mathematischen Methoden beinhalten unter anderem langfristige Konvergenz in den lokale Seminormen der Energie (die für physikalische Systeme mit Strahlung relevant sind), die Wiener-Bedingung für Koppelungsfunktion (die es ermöglicht, die üblicherweise verwendete Bedingung hinreichend kleiner Koppelungsfunktion zu vermeiden), sowie weitere, fortgeschrit-tenere moderne Techniken, die in den letzten Jahren von einigen Forschungsteams entwickelt wurden, unter anderem auch von den hauptsächlichen Mitarbeitern dieses Projektes: symplectische Geometrie in der Hilbertphasenräum der nichtlinearen PDG, der Zeiterfall für linearisierte Probleme, Lokalisation der Resonanzbezeichnungen, usw. Dieses Forschungsprojekt wird daher bedeutende Vorteile aus der Expertise ziehen, welche seine hauptsächlichen Mitarbeiter in den letzten Jahren erworben haben. Das Projekt umfasst Teams in Wien, München, Moskau, St. Petersburg, Cambridge, sowie in den USA. Signifikante Beiträge zu einigen fundamentalen Problemen der mathematischen Physik können daher erwartet werden.