Fastringe von Polynomfunktionen und ihre Anwendungen

Unsere Welt ist nicht linear. Viele Phänomene werden aber oft "linearisiert", da sie dadurch mit gut funktionierenden mathematischen Techniken behandelt werden können, die sinnvolle Vorhersagen liefern. Die "Polynomialisierung" ist ein guter Kompromiß zwischen den beiden Extremen einer "brutalen" Linearisierung und einer inakzeptablen mathematischen Komplexität. Polynom-Funktionen sind hochgradig nicht-linear, aber sie sind noch immer "zahm" genug, um mathematische Methoden anzuwenden, die ausgezeichnete Ergebnisse in andernfalls hoffnungslosen Situationen liefern. Im Bereich der Algebra hat die Verwendung von Polynomen und Polynom-Funktionen eine viel kürzere Tradition als in der Analysis, und man weiß viel weniger über den Wert dieser Konzepte für die Algebra und ihre Anwendungen. Das Ziel dieses Projekts ist daher Polynome und Polynom-Funktionen auf algebraischen Strukturen genauer zu untersuchen und die Ergebnisse auch auf Bereiche außerhalb der Algebra anzuwenden, nämlich auf - die Konstruktion von Balanced Incomplete Block Designs (BIB-Designs) in der Kombinatorik, - das optimale Design von statistischen Experimenten, - die Charakterisierung von synchronisierenden Worten in der Automaten-Theorie, und auch auf möglicherweise andere Gebiete.

Unsere Welt ist nicht linear. Wenn ein Auto doppelt so schnell fährt, braucht es viel mehr als den doppelten Bremsweg um stehen zu bleiben. Viele Prozesse und Abhängigkeiten sind so hochgradig nichtlinear, dass eine präzise mathematische Formulierung entweder unmöglich oder so kompliziert ist, dass selbst die besten Mathematiker an den Berechnungen scheitern. Üblicherweise versucht man dann, das Modell zu "linearisieren"; das ist aber gefährlich: wenn man eine Kurve durch eine Gerade ersetzt, kann man dabei schreckliche Fehler machen. Ein sehr kluger Kompromiß besteht darin, "polynomiale" Modelle einzusetzen. Polynomfunktionen sind kompliziert genug, um doch noch die wichtigsten Eigenschaften nicht-linearer Modelle einzufangen, sie sind aber gleichzeitig zahm genug, um sie noch mathematisch gut in den Griff zu bekommen. Die algebraischen Eigenschaften von Polynomen und Polynomfunktionen sind das Hauptthema dieses FWF- Projektes. Die Polynome und Polynomfunktionen können auf den verschiedensten algebraischen Strukturen "leben", auf Körpern, Ringen, Gruppen, oder anderen algebraischen Strukturen. Sie bilden meist in natürlicher Weise sog. "Fastringe". Eine der großen offenen Probleme in diesem Zusammenhang ist seit ca. 40 Jahren ungelöst: wie sehen die bijektiven Polynomfunktionen auf Gruppen aus? Diese beschreiben Zusammenhänge, bei denen jeder Input genau einen Output bewirkt und bei denen jeder Output von genau einem Input kommt. Daher holten wir die besten Forscher aus allen Teilen der Welt in Linz zusammen. Mit vereinten Kräften gelang es uns, dieses Problem zu lösen. Die Antwort stellt sich als so kompliziert heraus, dass es fraglich erscheint, dass ein Einzelner jemals dieses Problem hätte lösen können. Dies alles hört sich enorm theoretisch an, wahrscheinlich, weil es sehr theoretisch ist. Daher war die Überraschung groß, als sich manche Teile dieser Theorie der Fastringe als enorm praktisch herausstellten. Nehmen wir an, wir möchten die beste Kombination von Zutaten für eine Zahnpaste herausfinden, oder die beste Mischung von Düngemittel für das Feld eines Bauern. Es ist oft sehr zeitaufwendig und teuer, dafür viele Tests durchzuführen. Tests in der Landwirtschaft etwa dauern meistens (mindestens) ein Jahr. Daher ist es von großem Interesse, eine kleine, aber "repräsentative" Auswahl von Tests zu finden, aus denen man dann die beste Mischung für das finale Produkt herausrechnen kann. Wir konnten zeigen, dass durch die Verwendung bestimmter Klassen von Fastringen die besten theoretisch möglichen und ökonomischten Test-Anordnungen konstruiert werden können. Dies führte zu eine Zusammenarbeit mit Landwirten und weiteren Kooperationen. Es ist sehr ungewöhnlich, dass ein so abstrakter Teil der Mathematik so konkrete Anwendungen im täglichen Leben hervorbringt!