Dünn besetzte Rekonstruktionen für Inverse Probleme

Die Kombination von sparser Signalrekonstruktion und schlechtgestellten inversen Problemen ist ein neues Forschungsfeld und wird in diesem Projekt untersucht. Konkret befassen wir uns mit der Entwicklung von neuen Regularisierungsverfahren für nichtlineare inverse schlechtgestellte Probleme mit Sparsity Nebenbedingungen. Die Entwicklung von Algorithmen - allerdings für lineare Probleme in Tikhonov-Funktionalform unter Sparsity Nebenbedingungen - ist seit einigen Jahren Forschungsschwerpunkt. Eine Lösung für den linearen Fall wurde vor zwei Jahren von Daubechies et. al. [DDDM04] vorgestellt. Die Antragsteller haben 2005 erstmalig ein diesartiges Konzept für nichtlineare Probleme vorgeschlagen. Es existieren erste vielversprechende Ergebnisse, aber man ist weit davon entfernt, eine abgeschlossene Theorie zu haben. Dementsprechend ist das erste Ziel dieses Projektes, die Gebiete sparse Signalrekonstruktion und nichtlineare inverse Probleme miteinander zu verschmelzen und somit ein erstes Fundament für eine Vielzahl von Anwendungen zu schaffen. Die Anwendungen die in diesem Projekt eine besondere Rolle spielen, sind die Analyse der Dynamik von zellulären Netzwerken, die medizinische Bildverarbeitung und die Rotordynamik. Diese drei Anwendungen bringen nichtlineare schlechtgestellte inverse Probleme hervor, bei denen die Lösung als sparse angenommen wird. Aus diesem Grund tragen die in diesem Projekt zu entwickelnden Verfahren dazu bei, die großen Defizite der bisher eingesetzten Verfahren zu beseitigen. Die zu entwickelnden Algorithmen werden iterative Verfahren sein (erste einfache Untersuchungen weisen diesen natürlichen Weg). Demzufolge ergibt sich ein kanonisches Arbeitsprogramm für dieses Projekt: Entwicklung der Algorithmen, Konvergenzeigenschaften (schwach, stark, Bedingungen unter denen Konvergenz stattfindet), Beschleunigung der Verfahren, Analyse der Konvergenzraten, Etablierung nötiger Regularisierungstheorie (Parameterwahl) und, in Zusammenarbeit mit Anwendungsprojektpartnerns, Implementierung der Algorithmen und Evaluation.

Die Kombination von sparser Signalrekonstruktion und schlechtgestellten inversen Problemen ist ein neues Forschungsfeld und wird in diesem Projekt untersucht. Konkret befassen wir uns mit der Entwicklung von neuen Regularisierungsverfahren für nichtlineare inverse schlechtgestellte Probleme mit Sparsity Nebenbedingungen. Die Entwicklung von Algorithmen - allerdings für lineare Probleme in Tikhonov-Funktionalform unter Sparsity Nebenbedingungen - ist seit einigen Jahren Forschungsschwerpunkt. Eine Lösung für den linearen Fall wurde vor zwei Jahren von Daubechies et. al. [DDDM04] vorgestellt. Die Antragsteller haben 2005 erstmalig ein diesartiges Konzept für nichtlineare Probleme vorgeschlagen. Es existieren erste vielversprechende Ergebnisse, aber man ist weit davon entfernt, eine abgeschlossene Theorie zu haben. Dementsprechend ist das erste Ziel dieses Projektes, die Gebiete sparse Signalrekonstruktion und nichtlineare inverse Probleme miteinander zu verschmelzen und somit ein erstes Fundament für eine Vielzahl von Anwendungen zu schaffen. Die Anwendungen die in diesem Projekt eine besondere Rolle spielen, sind die Analyse der Dynamik von zellulären Netzwerken, die medizinische Bildverarbeitung und die Rotordynamik. Diese drei Anwendungen bringen nichtlineare schlechtgestellte inverse Probleme hervor, bei denen die Lösung als sparse angenommen wird. Aus diesem Grund tragen die in diesem Projekt zu entwickelnden Verfahren dazu bei, die großen Defizite der bisher eingesetzten Verfahren zu beseitigen. Die zu entwickelnden Algorithmen werden iterative Verfahren sein (erste einfache Untersuchungen weisen diesen natürlichen Weg). Demzufolge ergibt sich ein kanonisches Arbeitsprogramm für dieses Projekt: Entwicklung der Algorithmen, Konvergenzeigenschaften (schwach, stark, Bedingungen unter denen Konvergenz stattfindet), Beschleunigung der Verfahren, Analyse der Konvergenzraten, Etablierung nötiger Regularisierungstheorie (Parameterwahl) und, in Zusammenarbeit mit Anwendungsprojektpartnerns, Implementierung der Algorithmen und Evaluation.