Parabolische Geometrien II

Parabolische Geometrien bilden eine große Klasse sehr verschiedenartiger geometrischer Strukturen im Sinne der Differentialgeometrie. Einige der Strukturen in dieser Klasse werden schon seit langer Zeit intensiv studiert, etwa projektive Strukturen, konforme Strukturen, fast-quaternionische Strukturen und CR Strukturen vom Hyperflächentyp. Auch viele der weniger bekannten Beispiele parabolischer Geometrien haben starke Bezüge zu anderen Teilen der Mathematik, etwa zur komplexen Analysis, zur geometrischen Theorie von Differentialgleichungen, zur Sub-Riemannschen Geometrie und zur Kontrolltheorie. Obwohl die geometrischen Strukturen aus dieser Klasse sehr verschieden aussehen, können sie auf einheitliche Weise studiert werden. Die gemeinsame Eigenschaft dieser Geometrien ist, dass sie eine äquivalente Beschreibung durch eine kanonische Cartan Konnexion erlauben. Dabei ist das sogenannte homogene Modell eine verallgemeinerte Flaggenmannigfaltigkeit, also der Quotient einer halbeinfachen Lie Gruppe nach einer parabolischen Untergruppe (daher auch der Name). Daraus ergibt sich, dass im Studium dieser Geometrien darstellungstheoretische Methoden eine wichtige Rolle spielen. Die Theorie der parabolischen Geometrien hat sich in den letzen Jahren sehr schnell weiter entwickelt, wobei ein intensives Wechselspiel zwischen der Entwicklung der allgemeinen Theorie und dem Studium einzelner Beispiele solcher Strukturen (in den letzten Jahre vor allem konforme Geometrie und CR Geometrie) stattfindet. Im Rahmen des Projekts sollen die erfolgreichen Forschungsarbeiten der letzten Jahre, sowohl im Bereich der allgemeinen Theorie als auch spezieller Beispiele, fortgesetzt und intensiviert werden. Spezifischer sind als Hauptthemen Bernstein-Gelfand-Gelfand Sequenzen, Bezüge zur Theorie der überbestimmten Systeme partieller Differentialgleichungen, Geometrien, die durch Distributionen (Teilbündel im Tangentialbündel einer Mannigfaltigkeit) bestimmt sind, sowie Bezüge zu konform kompakten Einsteinmannigfaltigkeiten geplant. Neben diversen internationalen Kontakten wird im Rahmen des Projekts auch ein intensiver Austausch mit dem Initiativekolleg "Differentialgeometrie und Lie Gruppen" erfolgen. Dabei handelt es sich um ein strukturiertes Doktoratsprogramm, das von 2006 bis 2009 an der Fakultät für Mathematik der Universität Wien stattfinden wird.

Die Theorie der parabolischen Geometrien stellt eine aktive Forschungsrichtung im Rahmen der Differentialgeometrie dar. Parabolische Geometrien sind eine große Klasse geometrischer Strukturen, die in ihrer klassischen Beschreibung sehr verschieden aussehen, durch eine äquivalente Beschreibung auf Basis von halbeinfachen Lie Gruppen aber auf überraschend einheitliche Weise studiert werden können. Diese Klasse umfasst mehrere bekannte Beispiele von Geometrien, die, zum Teil mit speziell auf diese Beispiele abgestimmten Methoden, intensiv studiert werden. Das Wechselspiel zwischen den für spezielle Beispiele erzielten Resultaten und der Entwicklung der allgemeinen Theorie der parabolischen Geometrien ist charakteristisch für das Gebiet. Durch das Projekt "Parabolische Geometrien II" wurde sowohl die allgemeine Theorie der parabolischen Geometrien als auch das Verständnis für mehrere spezielle Beispiele solcher Strukturen wesentlich weiterentwickelt. Neben mehreren Arbeiten in hervorragenden Fachzeitschriften hat das Projekt auch zu einer Monographie geführt, in der die grundlegende Theorie der parabolischen Geometrien dargestellt wird. Dieses Buch ist in der angesehenen Reihe "Mathematical Surveys and Monographs" der American Mathematical Society erschienen. Weiters wurden im Rahmen des Projekts drei Dissertationen fertig gestellt. Eine der im Projekt angestellten Dissertantinnen hat inzwischen eine fünfjährige Post-doc Stelle an der Australian National University erhalten, eine zweite bereits zwei Stipendien. Ein wichtiger Erfolg des Projekts ist, dass verstärkt Beziehungen der Theorie der parabolischen Geometrien zu anderen Teilgebieten der Differentialgeometrie und der Mathematik hergestellt werden konnten. Dies wird nicht nur durch die im Rahmen des Projekts verfassten Publikationen demonstriert, sondern vor allem auch durch Einladungen zu Vorträgen bei internationalen Konferenzen zu verschiedenen Themen.