Singularisierung mehrdimensionaler Kettenbruchalgorithmen

Die Methode der Singularisierung wurde 1991 von C. Kraaikamp eingeführt, um die Approximationseigenschaften des regulären, eindimensionalen Kettenbruchalgorithmus zu verbessern. Tatsächlich kann eine große Klasse semi- regulärer, eindimensionaler Kettenbruchalgorithmen, die Klasse der S-expansions, durch Singularisierung und verwandte Methoden wie Insertion miteinander in Beziehung gesetzt werden. Abgesehen von der Klassifizierung erlaubt die Methode gewisse diophantische und metrische (Ergodizität, Existenz und explizite Form eines invarianten Maßes) Eigenschaften von einem Algorithmus auf andere Algorithmen derselben Klasse zu übertragen. In Schratzberger 2004 und Schratzberger 2006d wurde diese Methode erstmals in höhere Dimensionen verallgemeinert. In Schratzberger 2006b, 2006c konnte gezeigt werden, daß der zweidimensionale Jacobi-Perron Algorithmus, der Podsypanin Algorithm und der Brun Algorithm der gleichen Klasse von S-expansions angehören. D.h., sie können mithilfe von Techniken wie Singularisierung und Insertion untereinander transformiert werden. Im gegenständlichen Projekt soll insbesondere untersucht werden: 1. Die Übertragbarkeit von diophantischen Eigenschaften (etwa des Approximations-exponenten) von einem Algorithmus auf andere Algorithmen derselben Klasse (zweidimensionaler) S-expansions. 2. Die Übertragbarkeit von metrischen Eigenschaften (Ergodizität, Existenz und explizite Form eines invarianten Maßes) von einem Algorithmus auf andere Algorithmen derselben Klasse (zweidimensionaler) S-expansions. Höherdimensionale Transformationsprozesse sind um einiges komplexer als eindimensionale Transformationen, insoferne ist die Übertragung dieser Eigenschaften grundsätzlich nicht so offensichtlich wie in Dimension eins. Schließlich soll untersucht werden, ob und wie die Methode der Singularisierung weiter verallgemeinert werden kann, sowohl in Richtung anderer zweidimensionaler Algorithmen (z.B. Selmer Algorithmus), als auch in höhere Dimensionen.

Eines der wichtigsten Ziele des Projekts "Singularisierung mehrdimensionaler Kettenbruchalgorithmen" war es, die Methode der Singularisierung auf eine größere Klasse von zweidimensionalen Kettenbruchalgorithmen zu erweitern. Dabei haben wir insbesondere versucht, eine Methode zu finden, um den Brun Algorithmus in den Selmer Algorithmus zu transformieren. Dies ist, trotz enormer technischer Schwierigkeiten, auch dank intensivem Einsatz von mathematischer Software wie Mathematica schließlich gelungen. Die konstruktive Methode, den einen Algorithmus schrittweise in den anderen überzuführen, beinhaltet u.a. über vierzig Matrixidentitäten und eine detaillierte Beschreibung ihrer Anwendung. Eine ähnliche Methode wurde, als ein Resultat eines FWF-Vorgängerprojekts (P16964), bereits früher für den Podsypanin Algorithmus und den Jacobi-Perron Algorithmus vorgestellt. Der endgültige Beweis, dass diese Methode fast überall erfolgreich angewendet werden kann, war noch unvollständig. Die Lücken konnten mittlerweile geschlossen werden. Die entsprechende Arbeit inkludiert implizit auch eine Beschreibung der Wahrscheinlichkeitsstruktur des Podsypanin Algorithmus als "random system with complete connections". Diese Struktur wird schrittweise auf den Jacobi-Perron Algorithmus übertragen, um die Konvergenz der Methode (fast überall) zu zeigen. Damit umfasst die Klasse der zweidimensionalen "S-expansions" mittlerweile den Jacobi-Perron Algorithmus, den Podsypanin Algorithmus, den Brun Algorithmus sowie den Selmer Algorithmus. Außerdem haben wir uns mit der Frage nach der (exponentiellen) Konvergenz des Lebesgue Maßes zum invarianten Gauss Maß, im Fall des multiplikativen Brun Algorithmus beschäftigt. Dabei haben wir insbesondere versucht, die Methode von Paul Lévy zu verallgemeinern, um damit die Rolle des dualen Algorithmus zu klären. Das Problem konnte, aufgrund von technischen Schwierigkeiten, noch nicht endgültig gelöst werden. Gemeinsam mit Prof. Arnaldo Nogueira vom Institut de Mathématiques de Luminy haben wir am Problem der Rekurrenz, und in der Folge schwachen Konvergenz des vierdimensionalen Poincaré Algorithmus gearbeitet. Das Problem konnte grundsätzlich gelöst werden, und sollte in Kürze ferig zur Publikation sein. Schließlich haben wir uns, gegen Ende des Projekts, mit dem Effekt von Singularisierungsprozessen auf die Qualität der Diophantischen Approximationen beschäftigt. Die Vermutung, dass Algorithmen derselben Klasse zweidimensionaler "S-expansions" den gleichen Approximationsexponenten haben, scheint sich zu bestätigen. Der exakte Beweis erfordert allerdings noch einige zusätzliche Untersuchungen.