Optimale Steuerung von Stefanproblemen mit Beschränkung

Aufgaben mit freien und bewegten Rändern sind allgegenwärtig in technischen Anwendungen. Sie dienen zum Beispiel als Modell für freie Oberflächen von Fluiden oder Phasengrenzen bei Phänomenen mit Phasenübergängen. Charakteristisch für freie Randwertprobleme ist ihre Eigenschaft, dass der Definitionsbereich der zugrunde liegenden partiellen Differentialgleichung a priori unbekannt ist. Stattdessen wird dieser Bereich zusammen mit der Lösung der Gleichung bestimmt. Dieses Projekt beschäftigt sich mit der optimalen Steuerung von Aufgaben mit bewegten Rändern und zeitabhängigen partiellen Differentialgleichungen in zwei- und dreidimensionalen Gebieten. Wir konzentrieren uns auf Stefanprobleme, die Phasenübergänge modellieren, etwa bei Erstarrungsprozessen. In vielen industriellen Erstarrungsprozessen, einschließlich Gießvorgängen und Kristallwachstumsaufgaben, ist es wünschenswert, die Bewegung und Form des freien Randes zu beeinflussen, was Auswirkungen auf die Produktqualität und die Dauer der Prozesse hat. Dies kann mathematisch durch ein Zielfunktional ausgedrückt werden, und die Aufgabe führt auf ein Optimalsteuerproblem für ein freies Randwertproblem. Das Zielfunktional kann dabei sowohl von der Lage, dem Flächeninhalt oder der Krümmung des freien Randes abhängen, als auch vom Zustand (der Temperatur) und der Steuerung (Wärmeflüsse oder -quellen). Beispielsweise könnte das Zielfunktional den gewünschten Verlauf des freien Randes oder seine finale Lage zum Ausdruck bringen oder große Krümmungen penalisieren. In vielen Fällen sind Ungleichungsbeschränkungen erforderlich, um überhöhte Wärmeflüsse zu vermeiden, um den bewegten Rand in einem Band um die gewünschte Lage herum zu führen oder um zu verhindern, dass sich der bewegte Rand in einen bestimmten Bereich hineinbewegt. In diesem Projekt werden numerische Techniken zur Lösung freier Randwertprobleme vom Stefan-Typ mit Beschränkungen an die Lage des freien Randes entwickelt. Im Gegensatz zu früheren Ansätzen sollen die Struktur des Optimalitätssystems ausgenutzt, Information zweiter Ordnung eingebracht und Level-Set-Techniken eingesetzt werden, um die Bewegung des freien Randes zu beschreiben.

Die Hauptergebnisse des Projektes umfassen neuartige Optimalitätsbedingungen sowie Techniken zu deren numerischer Lösung für Optimierungsaufgaben mit Materialmodellen, die einen Phasenübergang beschreiben. Das klassische Stefan-Problem sowie Erstarrungsvorgänge bei Kristallwachstumsprozessen sind wichtige Beispiele der betrachteten Problemklasse. Die Neuartigkeit des Zugangs in diesem Projekt besteht in der Fähigkeit, sowohl geschlossene als auch offene Fest-Flüssig-Materialgrenzen behandeln zu können. Dies wird durch eine Level-Set- Beschreibung des sich bewegenden Interfaces erreicht. Die Ergebnisse des Projektes könnten somit möglicherweise einen substantiellen Beitrag liefern zur zukünftigen Behandlung einer breiten Klasse von Optimierungsaufgaben mit freien Rändern und bewegten Interfaces. Um die Anwendbarkeit der vorgeschlagenen Methode zu demonstrieren, wurden im Rahmen des Projektes auch Techniken zur numerischen Lösung des Optimalitätssysteme entwickelt.