Dynamische Diophantische Approximation

Das vorliegende Projekt beschäftigt sich mit Fragen der Geometrie der Zahlen und der Diophantischen Approximation. Bei vielen Anwendungen der Geometrie der Zahlen zur Approximation reeller Zahlen durch rationale spielt in einem geeignet gewählten Gitter Minkowskis zweiter Gitterpunktsatz eine wesentliche Rolle. In diesem Gitter betrachtet man dann eine Familie von konvexen Körpern, die von einem Parameter ahängen, sodass die bezüglich dieser Körper und bezüglich des Gitters definierten sukzessiven Minima als Funktionen dieses Parameters angesehen werden können. Ein Grossteil der Information über die simultane Approximierbarkeit der reellen Zahlen, die das Gitter definieren, spiegelt sich im Verhalten dieser Funktionen wider. Es ist also naheliegend, die Geometrie der Zahlen speziell im Hinblick auf einparameter Familien konvexer Körper zu untersuchen, das heisst,"dynamische Geometrie der Zahlen" zu betreiben. Eine dahingehende Theorie sollte insbesondere in der Lage sein, Aufschluss über das individuelle und simultane Verhalten einer Menge von sukzessiven Minima bezüglich der gegebenen Familie von Körpern zu geben. Mehrere detaillierte Fragestellungen in diese Richtung werden im folgenden Projektantrag dargelegt. Solch eine dynamische Theorie ist im Hinblick auf zahlreiche Anwendungen auf die Diophantische Approximation von grossem Interesse, darüber hinaus besteht die berechtigte Hoffnung, dass ein gutes Verständnis von einparameter Problemen auch neue Impulse für die Behandlung von zweiparameter Familien konvexer Körper liefert, die in Zusammenhang mit der Littlewood Vermutung wesentlich sind. Eine weitere Frage der Diophantischen Approximation steht in unmittelbarem Zusammenhang mit einer Verfeinerung von W. Schmidts Teilraumsatz durch P. Vojta. Der Teilraumsatz besagt, dass eine gewisse Ungleichung für Werte von Linearformen mit algebraischen Koeffizienten ausserhalb einer endlichen Vereinigung von linearen Teilräumen Gültigkeit hat. Manche dieser Teilräume können dabei eindimensional gewählt werden, andere sind wesentlich mehrdimensional. Vojta hat gezeigt, dass die Menge der letzteren unabhängig vom in der Ungleichung auftretenden Parameter e ist. Eine gute quantitative Abschätzung für die Anzahl dieser Teilräume zu geben ist eine interessantes Problem, weitere Details dazu finden sich ebenfalls im folgenden Projektantrag.

Der von Minkowski in der Geometrie der Zahlen eingeführte Begriff der sukzessiven Minima eines konvexen Körpers bezüglich eines Gitters hat zahlreiche Anwendungen in der Diophantischen Approximation gefunden. Während das erste und letzte sukzessive Minimum in diesen wesentlich ausgenutzt wurden, sind die Untersuchungen der dazwischenliegenden Minima noch weniger weit geführt. Um die simultanen Approximationseigenschaften einer gegebenen Menge irrationaler Zahlen zu beschreiben, kann man bei geeigneter Wahl eines Gitters und einer einparametrigen Menge konvexer Körper das Verhalten der sukzessiven Minima als Funktionen dieses Parameters gewinnbringend ausnützen. So konnte im Fall zweier zu approximierender Irrationalzahlen eine ziemlich genaue Beschreibung des Verhaltens der drei zugehörigen Minimafunktionen mit Hilfe geometrischer Methoden gegeben werden. Verschiedene Ungleichungen zwischen der minimalen und maximalen Grössenordnung der sukzessiven Minima haben dabei auf neuen Wegen zu bereits bekannten Ungleichungen zwischen den klassischen Approximationskonstanten geführt. Der wesentliche Fortschritt dieses neuen geometrischen Zugangs liegt aber darin, dass sich die erhaltenen Ungleichungen so nur als Teil der wesentlich vollständigeren Information hinsichtlich der simultanen Approximationseigenschaften gegebener Irrationalzahlen aus dem dynamischen Verhalten der sukzessiven Minima Funktionen ergeben.