Schnelle hp-Löser für gemischte und elliptische Probleme

Viele Probleme aus Natur- und Ingenieurwissenschaften werden durch partielle Differentialgleichungen beschrieben. Die Finite Elemente Methode (FEM) ist dabei eine der effizientesten Methoden zur Computersimulation solcher Probleme. Die p-Version der FEM benutzt dabei ein festes Grobnetz und erhöht den Polynomgrad p auf den Elementen. Der Vorteil dieser Methode liegt daran, da? hinreichend glatte Funktionen sehr gut durch Polynome angenähert werden können. Somit sind die p- und hp-Version der FEM sehr bedeutende Diskretisierungsverfahren in der Mathematik und den Ingenieurwissenschaften geworden. Die Diskretisierung eines elliptischen linearen Randwertproblems mittels FEM führt auf ein lineares Gleichungssystem der Form Ax=b. Vorkonditionierte Krylov-Unterraummethoden gehören in der Literatur zu den effizientesten Methoden zur iterativen Lösung von Ax=b. Die Konvergenzgeschwindigkeit dieser Verfahren hängt dabei entscheidend von der Wahl des entsprechenden Vorkonditionierers ab. Im Rahmen dieses Projektes werden dreidimensionale Randwertprobleme mittels der p- bzw. der hp-Version der FEM unter der Verwendung von Hexaederelementen diskretisiert werden. Das zugehörige lineare System Ax=b soll mittels eines vorkonditionierten Krylov-Unterraumverfahren gelöst werden. Es sollen verschiedene Vorkonditionierer zur Lösung von Ax=b entwickelt werden, mit denen die Gesamtrechenzeit zum Lösen von Ax=b proportional zur Anzahl der Unbekannten ist. Dabei wird die Tensorproduktstruktur der Hexaederelemente explizit ausgenutzt. Wir werden sowohl Vorkonditionierer für hp-FEM Diskretisierungen skalarer elliptischer Probleme als auch der Lameschen Gleichungen der Elastizitätstheorie behandeln. Außerdem werden wir das Stokes Problem als ein Beispiel eines gemischten Problems betrachten. Die zu entwickelnden Vorkonditionierer sollen sowohl theoretisch als auch praktisch untersucht werden.

Viele Probleme aus Natur- und Ingenieurwissenschaften werden durch partielle Differentialgleichungen beschrieben. Die Finite Elemente Methode (FEM) ist dabei eine der effizientesten Methoden zur Computersimulation solcher Probleme. Die p-Version der FEM benutzt dabei ein festes Grobnetz und erhöht den Polynomgrad p auf den Elementen. Der Vorteil dieser Methode liegt daran, dass hinreichend glatte Funktionen sehr gut durch Polynome angenähert werden können. Somit sind die p- und hp-Version der FEM sehr bedeutende Diskretisierungsverfahren in der Mathematik und den Ingenieurwissenschaften geworden. Die Diskretisierung eines elliptischen linearen Randwertproblems mittels FEM führt auf ein lineares Gleichungssystem der Form Ax=b. Vorkonditionierte Krylov-Unterraummethoden gehören in der Literatur zu den effizientesten Methoden zur iterativen Lösung von Ax=b. Die Konvergenzgeschwindigkeit dieser Verfahren hängt dabei entscheidend von der Wahl des entsprechenden Vorkonditionierers ab. Im Rahmen dieses Projektes werden dreidimensionale Randwertprobleme mittels der p- bzw. der hp-Version der FEM unter der Verwendung von Hexaederelementen diskretisiert werden. Das zugehörige lineare System Ax=b soll mittels eines vorkonditionierten Krylov-Unterraumverfahren gelöst werden. Es sollen verschiedene Vorkonditionierer zur Lösung von Ax=b entwickelt werden, mit denen die Gesamtrechenzeit zum Lösen von Ax=b proportional zur Anzahl der Unbekannten ist. Dabei wird die Tensorproduktstruktur der Hexaederelemente explizit ausgenutzt. Wir werden sowohl Vorkonditionierer für hp-FEM Diskretisierungen skalarer elliptischer Probleme als auch der Lameschen Gleichungen der Elastizitätstheorie behandeln. Außerdem werden wir das Stokes Problem als ein Beispiel eines gemischten Problems betrachten. Die zu entwickelnden Vorkonditionierer sollen sowohl theoretisch als auch praktisch untersucht werden.