Energie-Transport-Gleichungen für Halbleiter

Infolge der fortschreitenden Miniaturisierung der Halbleiterbauelemente werden Temperatur- und Quanteneffekte immer kritischer. Üblicherweise werden diese Effekte in industriellen Programmcodes für hochintegrierte Halbleiterschaltungen mittels kompakten Modellen oder Korrekturtermen berücksichtigt. Die Modellierung der parasitären Effekte in modernen Bauteilen mittels einfacher Korrekturen wird jedoch immer schwieriger. Daher ist es notwendig, verfeinerte Modelle zu entwickeln, in denen etwa die Temperatur eine unabhängige Variable ist. In diesem Projekt werden die klassischen und quantenmechanischen Energie-Transport-Gleichungen modelliert, analysiert und numerisch gelöst. Das Modell besteht aus den Erhaltungsgleichungen für die Elektronenmasse und - energie, zusammen mit den Gleichungen für die Teilchen- und Energiestromdichten, gekoppelt mit der Poisson- Gleichung für das elektrische Potential. In diesem Modell ist die Temperatur (bzw. die thermische Energie der Elektronen) eine unabhängige Variable. Das klassische Energiemodell ist mathematisch gesehen ein Kreuzdiffusionssystem von parabolischen, potentiell degenerierten Gleichungen zweiter Ordnung. Das Quanten- Energie-Transport-Modell enthält zusätzliche Quantenterme, die aus der Wigner-Gleichung herrühren. Es wird erwartet, daß dieses Modell vom parabolischen Typ ist, aber Differentialoperatoren vierter Ordnung enthält. Der Vorteil dieser Modelle ist ihre parabolische Struktur, die eine effizientere numerische Lösung erlaubt als andere Temperaturmodelle, wie etwa hydrodynamische oder kinetische Gleichungen. Hauptziele des Projektes sind das Verständnis des Einflusses der Elektronentemperatur auf die Teilchenstromdichte, die Erwärmung des Halbleiterkristalls und das Zusammenspiel der Temperatur mit Quanteneffekten. Genauer gesagt stehen die folgenden Aufgaben im Vordergrund: mathematische Analysis der klassischen und quantenmechanischen Energie-Transport-Gleichungen, asymptotische Entwicklung der Gleichungen um den Zustand konstanter Temperatur und numerische Lösung der Modellgleichungen mit geeigneten Rand- und Anfangsbedingungen in bis zu drei Raumdimensionen mittels gemischten Finiten Elementen. Außerdem sollen ultrakleine Feldeffekt-Transistoren (MOSFET, HEMT) numerisch simuliert werden. Es wird erwartet, daß diese Resultate das Verständnis von hochgradig nichtlinearen Kreuzdiffusionssystemen und von Wärme- und Quantentransportphänomenen in Halbleiterbauteilen fördern werden. Dieses Projekt wird in Zusammenarbeit mit Prof. Pinnau (Kaiserslautern, Deutschland) durchgeführt. Prof. Pinnau hat parallel einen Antrag auf Forschungsförderung bei der Deutschen Forschungsgemeinschaft (DFG) gestellt. Einige Teilprojekte werden hauptsächlich in Wien, andere hauptsächlich in Kaiserslautern durchgeführt.

Ziel dieses Projekts war das mathematische Verständnis thermischer und/oder quantenmechanischer Effekte in Halbleiterbauteilen. Diese Effekte können zwar prinzipiell mittels der semiklassischen Boltzmann-Transportgleichung oder der quantenmechanischen Wigner.Gleichung beschrieben werden. Die numerische Lösung dieser Gleichungen ist jedoch viel zu aufwendig, und approximative Modelle sind gefragt. In diesem Projekt wurden gewisse Approximationen analysiert und numerisch gelöst. Hierbei wurden zwei Hauptresultate erzielt. Zuerst haben wir eine sehr effiziente Implementierung der Boltzmann-Gleichung in der sogenannten Spherical-Harmonics-Expansion-Näherung vorgeschlagen, indem wir die spezielle Struktur der Diskretisierung ausgenutzt haben. Ein Schema, das adaptiv in der Ordnung der Näherung ist, wurde entwickelt. Wir haben moderne dreidimensionale Nano- Bauteile numerisch simuliert. Unser Schema hat das Potential, existierende kommerzielle Halbleitersoftware signifikant zu verbessern. Als zweites haben wir einen wichtigen Fortschritt im Verständnis gewisser approximativer Quantenmodelle, insbesondere Quantenfluidmodelle, erlangt. Wir haben neue mathematische Werkzeuge zur Behandlung hochgradig nichtlinearer mathematischer Modelle entwickelt und die Struktur von Quanten-Navier-Stokes-Systeme enthüllt. Unerwartete Verbindungen zwischen klassischer und quantenmechanischer Fluidtheorie wurden entdeckt. Diese Verbindungen können helfen, gewisse theoretische Aspekte der Quantenmechanik besser zu verstehen.