Indirekte Regularisierung in den non-Hilbert Räumen

Im gegenwärtigen Projekt analysieren wir inverse Probleme, in denen die Eigenschaften von Interesse von abgeleiteten beobachtbaren Grössen bestimmt werden müssen. Es ist üblich, sowohl die Eigenschaften von Interesse als auch die beobachtbaren Grössen durch Elemente in Hilbert-Räumen zu modellieren. Häufig entstehen derartige inverse Probleme im wissenschaftlichen Kontext, reichend von der stereologischen Mikroskopie bis zur Satellitengeodesy. Normalerweise sind diese schlecht-gestellt, was bedeutet, daß das Element von Interesse unstetig von den Beobachtungen abhängt. Folglich erfordert die numerische Behandlung der Inversen Probleme die Anwendung spezieller Regularisierungsmethoden. Die klassische Regularisierungstheorie behandelt Methoden, die ursprünglich für die Analysis in Hilbert-Räumen bestimmt waren. Gleichzeitig, in praktisch wichtigen Fällen, ist es interessant, die Elemente von Interesse in anderen Räumen zurückzugewinnen, die nicht mit einer Hilbert-Raum-Struktur ausgerüstet sind. Dieser Fall tritt zum Beispiel dann ein, wenn man erwartet, daß das Element von Interesse hinsichtlich einer festgelegten Basis hat mit nur wenigen Koeffizienten dargestellt werden kann. In solchen Fällen ist die allgemeine Theorie zum Gebrauch von Standardregularisierungsmethoden nicht aussagekräftig. Diese Methoden sind jedoch attraktiv, weil sie oft eine einfache numerische Realisierung erlauben, während Methoden, die zur Regulierung in Nicht-Hilbert-Räumen neu entwickelt wurden, sogar für lineare Probleme nichtlinear sein können, und oft zu anspruchsvollen numerischen Verfahren führen. Darüber hinaus zeigt eine von uns durchgeführte einleitende numerische Studie, daß in einigen Fällen Standardregulierungsmethoden durchaus mit neu entwickelten Methoden konkurrieren können. Aber bis jetzt sind die Methoden der klassischen Regularisierungstheorie nie systematisch zur Regulierung in anderen als Hilbert- Räumen verwendet worden. Das Ziel des gegenwärtigen Projektes ist es, die Lücke zwischen der gut verstandenen Regularisierung in Hilbert- Räumen und der Regularisierung in allgemeineren Räumen, wo viele Fragen offen sind, zu schliessen. Deshalb planen wir, eine Methodologie zum Abschätzen der Stabilität von Regularisierungsmethoden in allgemeinen Räumen zu entwickeln, die dann ein Schlüssel zu deren erfolgreichen Anwendung sein kann.

Das Ziel des Projekts war die Studie der inversen Probleme, in denen die Eigenschaften von Interesse von abgeleiteten beobachtbaren Grössen bestimmt werden müssen. Es ist üblich, sowohl die Eigenschaften von Interesse als auch die beobachtbaren Grössen durch Elemente in Hilbert-Räumen zu modellieren. Häufig entstehen derartige inverse Probleme im wissenschaftlichen Kontext, reichend von der stereologischen Mikroskopie bis zur Satellitengeodesy. Normalerweise sind diese schlecht-gestellt, was bedeutet, daß das Element von Interesse unstetig von den Beobachtungen abhängt. Folglich erfordert die numerische Behandlung der inversen Probleme die Anwendung spezieller Regularisierungsmethoden. Die klassische Regularisierungstheorie behandelt Methoden, die ursprünglich für die Analysis in Hilbert-Räumen bestimmt waren. Gleichzeitig, in praktisch wichtigen Fällen, ist es interessant, die Elemente von Interesse in anderen Räumen zurückzugewinnen, die nicht mit einer Hilbert-Raum-Struktur ausgerüstet sind. Dieser Fall tritt zum Beispiel dann ein, wenn man erwartet, daß das Element von Interesse hinsichtlich einer festgelegten Basis hat mit nur wenigen Koeffizienten dargestellt werden kann. In solchen Fällen ist die allgemeine Theorie zum Gebrauch von Standardregularisierungsmethoden nicht aussagekräftig. Diese Methoden sind jedoch attraktiv, weil sie oft eine einfache numerische Realisierung erlauben, während Methoden, die zur Regularisierung in Nicht-Hilbert-Räumen neu entwickelt wurden, sogar für lineare Probleme nichtlinear sein können, und oft zu anspruchsvollen numerischen Verfahren führen. Zu beachten: die Methoden der klassischen Regularisierungstheorie sind nie bis Start des Projekts systematisch zur Regularisierung in Nicht-Hilbert-Räumen verwendet worden. Die Arbeitsergebnisse des gegenwärtigen Projekts hatten die Lücke zwischen der gut bekannten Regularisierung in Hilbert-Räumen und der Regularisierung in allgemeineren Räumen verringert. Zum Beispiel, es würde nachgewiesen, dass eine unlängst erschlossene Parameterwahl `Ausgleichenprinzip` ermöglicht den effektiven Einsatz der Standard-Tikhonov Regularisierung in der Rekonstruktion einer dünnbesetzen Struktur. Darüber hinaus würde es herausgefunden, dass die Multi-Penalty Version der klassischen Tikhonov Regularisierung eine effektive Kontrolle der Regularisierung in mehrere Räumen gleichzeitig ermöglicht.