Symbolische und Algebraische Methoden für LPD0s(DIFFOP)

Eines der wichtigsten Probleme der Mathematik mit einer Vielzahl von Anwendungen ist die Lösung von Partiellen Differentialgleichungen (PDG). Wie bei vielen anderen mathematischen Problemen können Lösungsverfahren klassifiziert werden in symbolische (oder analytische) und numerische Methoden. Natürlich ist eine analytische Lösung vorzuziehen. Daraus kann man nämlich numerische Lösungen in beliebiger Präzision und über jedem Bereich herstellen. Weiters kann man das Verhalten der Lösung im Unendlichen und in Extrempunkten analysieren, die Abhängigkeit von Parametern untersuchen, und vieles mehr. Während einige einfache Gewöhnliche Differentialgleichungen (GDG) analytisch gelöst werden können, ist eine solche analytische Lösung mit steigendem Grad der Komplexität immer seltener. Eine Methode, den Bereich der analytisch lösbaren PDGen auszudehnen, besteht in der Transformation der PDGen und in der entsprechenden Transformation der Lösungen. Wird in einem Schritt dieses Transformationsprozesses schließlich eine faktorisierbare Gleichung erreicht, so kann eine analytische Lösung für diese transformierte Gleichung bestimmt werden - und daraus in weiterer Folge auch für die ursprüngliche Gleichung. Heutzutage spielen moderne Softwaresystem der Computeralgebra und des Symbolischen Rechnens eine bedeutende Rolle für die analytische Lösung von PDGen. Das Ziel diese Projektes ist die Weiterentwicklung und Verallgemeinerung analytischer Zugänge zur Lösung von PDGen und zur entsprechenden algebraischen Theorie der Differentialoperatoren. In früheren Arbeiten haben wir den Begriff des "obstacle" (Hindernis) für die Faktorisierung eines Differentialoperators eingeführt. Dabei handelt es sich um Bedingungen, welche die Faktorisierung eines Operators verhindern. Diese "obstacles" führen zu einem Obstacle-Ring und weiters zu einer Klassifzierung von Operatoren bzgl. ihrer Faktorisierungseigenschaften. Auch lassen sich daraus (Laplace-) Invarianten von Operatoren herleiten bzgl. gewisser (Gauge-) Transformationen. Für Operatoren niedriger Ordnung haben wir gezeigt, wie solche Systeme von Invarianten zu vollständigen Invariantensystemen erweitert werden können. Ein damit verwandtes Problem ist die Beschreibung der Struktur von Familien von Faktorisierungen. Für Operatoren der Ordnung 3 konnte gezeigt werden, dass eine Familie von Faktorisierungen höchstens von 3 oder 2 Parametern abhängt, wobei jeder Parameter eine Funktion in einer Variablen ist. In diesem Projekt beabsichtigen wir die Idee der Obstacles zu verallgemeinern auf den Fall von Systemen von PDGen, und deren Eigenschaften zu übertragen. Zumindest für lineare partielle Differentialoperatoren (LPDOen) mit relativ primen Faktoren des Symbols scheint das naheliegend. Für partielle Operatoren der Ordnung 4 ist die Beschreibung der Struktur der Familien von Faktorisierungen noch eine offene Frage. Verallgemeinerungen auf LPDOen mit beliebigem Symbol (ohne die Annahme der vollständigen Faktorisierung) und auf solche in höher dimensionalen Räumen sind ebenfalls von Interesse. Wir werden auch arbeiten an Methoden zur Bestimmung von Invarianten von Operatoren der Ordnung 3 oder mehr. Wir erwarten uns davon eine Klassifizierung von Operatoren mittels vollständiger Invariantensysteme. Die klassische Laplace Methode zur Transformation von PDGen der Ordnung 2 wurde verschiedentlich verallgemeinert: auf nichtlineare PDGen, auf PDGen höherer Ordnung, u.ä. Wir beabsichtigen diese Unter- suchung fortzuführen, woraus sich wichtige Anwendungen auf die analytische Lösung von PDGen ergeben sollten. Die in diesem Projekt erzielten theoretischen Resultate sollen in Symbolic Computation Software implementiert werden.

In der Mathematik, insbesondere der Algebra, beschäftigen wir uns mit der Lösung von Gleichungen. Gleichungen gibt es aber sehr verschiedener Art: lineare Gleichungen, algebraische bzw. polynomiale Gleichungen, nicht- algebraische Gleichungen, Differentialgleichungen sind wichtige Beispiele. Eine Funktion in einer veränderlichen Größe weist typischerweise variables Wachstum auf, und das wird durch die Ableitung der Funktion beschrieben. Die Ableitung ist ihrerseits wiederum eine Funktion, und ihre Ableitung nennt man die zweite Ableitung der Ausgangsfunktion; usw. Viele interessante Phänomene in den Naturwissenschaften und Technik, aber auch etwa in den Wirtschaftswissenschaften, lassen sich gut beschreiben durch einen Zusammenhang zwischen gewissen Funktionen und deren Ableitungen. Man nennt so einen Zusammenhang eine Differentialgleichung. Natürlich gibt es auch Differentialgleichungen in mehreren Variablen, sogenannte partielle Differentialgleichungen; und auch in mehreren gesuchten Funktionen. Im Projekt DIFFOP untersuchten wir Differentialgleichungen, welche algebraisch beschrieben werden können, die also einen Zusammenhang zwischen gesuchter Funktion und ihren Ableitungen in polynomialer Form beschreiben. Konkret haben wir im Projekt DIFFOP in den folgenden Fragestellungen Fortschritte erzielt: Oft kann man Differentialgleichungen (wie auch andere Gleichungen) durch einen Operator beschreiben, welcher angewandt auf die gesuchte Funktion den Wert Null ergeben soll; man sucht also den Nullraum des betreffenden Differentialoperators. Kann man einen Differentialoperator als Hintereinanderausführung zweier (einfacherer) Operatoren darstellen, also faktorisieren, dann reduziert sich die Lösung auf die Lösung dieser einfacheren Faktoroperatoren. Die Frage der Faktorisierung von linearen partiellen Differentialoperatoren (LPDO) ist eng verwandt mit sogenannten Invarianten, also Charakterisierungen die unter Transformationen gleich bleiben. Wir konnten bestehende Faktorisierungsverfahren ausweiten und ein vollständiges System von Invarianten für LPDOs der Ordnung 3 herleiten. Sind mehrere LPDOs oder auch Differenzengleichungen gegeben, so wäre es von großem Interesse, Konsequenzen herzuleiten, welche nur von weniger Variablen abhängen. Dazu konnten wir die für algebraische Gleichungen bekannte Methode der Gröbner-Basen auf diesen Fall ausdehnen. Für sogenannte algebraische Differentialgleichungen in einer Variablen konnten wir ein vollständiges algebraisches Verfahren für allgemeine rationale Lösungen entwickeln. Wir vernachlässigen zunächst die differentielle Struktur der Gleichung, und fassen sie als algebraische Beziehung zwischen der Funktion und ihrer Ableitung (oder Ableitungen) auf. Man erhält also eine algebraische Varietät, und eine rationale Lösung erzeugt eine rationale Kurve auf dieser Varietät. Unser Verfahren basiert maßgeblich auf Parametrisierungen algebraischer Kurven und Flächen, welche wir in Vorgängerprojekten eingehend untersucht haben. Das Projekt DIFFOP hat somit einen wesentlichen Beitrag geleistet zur Entwicklung neuer Methoden für die Analyse und Lösung von Differentialgleichungen.