Symbolische Summation in perturbativer Quantenfeldtheorie

Die Berechnung von Feynman Parameter-Integralen spielt eine wichtige Rolle in der perturbativen Quantenfeldtheorie. In der Störungstheorie höherer Ordnung ist die Auswertung von Feynman Parameter-Integralen im Allgemeinen nicht gelöst. Abhängig von den Massenparametern und Virtualitäten des Problems bilden diese Mehrfachintegrale Funktionenklassen, die aus hypergeometrischen Funktionen und Verallgemeinerungen davon bestehen. Ein Hauptziel der gegenwärtigen theoretischen Forschung auf dem Gebiet der Elementarteilchenphysik betrifft die stetige Verbesserung der Genauigkeit für die Extraktion der fundamentalen Parameter der Standardtheorie, basierend auf Präzisionsmessungen. Konsequenter Forschritt in diesem Bereich kann nur erreicht werden, indem innovative mathematische Techniken angewendet werden, welche - wie im vorliegenden Antrag ausgeführt ist - eine starke Zusammenarbeit von Mathematikern und theoretischen Physikern voraussetzt. Nur auf diese Weise können Fragen wie "Wie und wo vereinen sich die Fundamentalkräfte in unserem Universum?" beantwortet werden. Eine exakte Berechnung innerhalb der bestehenden Standardtheorie -welche nur auf diese Weise möglich ist- wird es uns ermöglichen, auch sehr kleine Anzeichen von neuer Physik zu enthüllen und erlaubt uns daher, bestmöglichen Nutzen aus den sehr kostenintensiven Beschleuniger- und Detektorenanlagen zu ziehen. Die Berechnung dieser Integrale setzt effiziente und sehr flexible symbolische Summationstechniken, wie auch Algorithmen für spezielle Funktionen voraus, welche diese Aufgabe unterstützen. Dies beinhaltet auch Algorithmen zur Vereinfachung und zur Verifikation. Wir werden neue algorithmische Methoden entwickeln und erforschen, um solche klassische spezielle Funktionen und neue Funktionenklassen zu behandeln. Im Zuge der erstmaligen Berechnung von neuen Klassen von Feynman-Diagrammen werden sich neue Typen von mathematischen Funktionen herausbilden und ihre Eigenschaften werden hergeleitet. Wie sich in der Vergangenheit herausgestellt hat, werden Funktionenklassen von diesem Typ sehr bald in anderen Bereichen von Wissenschaft und Technologie ihre Anwendung finden. Unsere Forschungen werden diese Entwicklung beschleunigen, in dem wir die entsprechenden Computeralgebra Algorithmen und Softwareimplementierungen zur Verfügung stellen. Zusätzlich werden wir Ergebnisse von neuen Funktionenklassen durch Publikationen und Webseiten dokumentieren. Unsere vorgeschlagene Forschungsarbeit wird in intensiver Zusammenarbeit mit dem Deutschen Elektronen- Synchrotron (DESY), Mitglied der Helmholtz-Gemeinschaft, durchgeführt, welches eines der führenden Beschleunigerzentren und Wissenschaftszentren für Elementarteilchenphysik weltweit ist. Von dem vorgeschlagenen Projekt erwarten wir synergetische Effekte, welche neue Wege innerhalb der Wissenschaft, sowohl in der Elementarteilchenphysik als auch im symbolischen Rechnen und im Bereich der speziellen Funktionen eröffnen sollte.

Ein zentrales Ziel des Projekts ist die Erforschung der Elementarteilchen und der zwischen ihnen wirkenden Fundamentalkräfte, insbesondere der starken Kraft. Sie bindet Quarks und Gluonen innerhalb von Protonen und den Kernen der Atome. Diese ist bisher bezüglich ihrer Stärke weniger genau bekannt als die durch Licht-Quanten vermittelte elektromagnetische Kraft und die schwache Kraft, die auch für die natürliche Radioaktivität verantwortlich ist.Die Interaktion von Quarks und Gluonen wird mit Hilfe von sogenannten Feynmandiagrammen bzw. Feynmanintegralen beschrieben. Die Auswertung dieser äußerst komplizierten Integrale mit symbolischen Techniken ist dann ein zentraler Schritt, um physikalische Aussagen über das Verhalten der Elementarteilchen und deren Kräfte treffen zu können.In diesem Projekt wurden neue Technologien und Algorithmen im Bereich der symbolischen Summation, symbolischen Integration und speziellen Funktionen entwickelt, um schwierige Berechnungen von neuen Klassen von Feynmanintegralen voranzutreiben, welche in der Physik dringend benötigt werden. Hierbei erarbeiteten wir eine systematische Methode, um die Feynmandiagramme in Form von konvergenten Summendarstellungen mit endlichen und unendlichen Summen über hypergeometrische Ausdrücke umzuschreiben. In dieser Darstellung waren die Summen (bis zu 7-fach verschachtelt!) mit ihren Summationsobjekten stark verflochten. Die essentielle Aufgabe bestand nun darin, die Summenausdrücke zu einfacheren Summen für die weitere physikalische Verarbeitung zu entkoppeln. Um diese Summenausdrücke zu bewältigen, musste die vorhandene Summationstheorie und ihre Summationsalgorithmen substantiell verbessert werden. Damit konnten wir z.B. gewaltige Rekurrenzen lösen. Um letztlich unsere physikalischen Probleme zu lösen, waren wir mit über einer Million solcher anspruchsvollen Summen konfrontiert. In diesem Zusammenhang mussten neue Summationspakete für die Massenproduktion entwickelt und implementiert werden. Inzwischen haben wir es erreicht, eine komplett automatische Summations-Toolbox zu erstellen, welche auf Großrechner mit 200 Gbyte RAM ihre Anwendung finden.Während unserer Berechnungen begannen wir die Klasse der bekannten Funktionen zu verlassen, mit dessen Hilfe die benötigten Vereinfachungen der Integrale beschrieben werden können. Um diese Berechnungen zu unterstützen und um kompakte Darstellungen zu erhalten, mussten hierbei die neu auftretenden Funktionenklassen bezüglich Ihrer algebraischen und analytischen Eigenschaften erforscht werden. Insbesondere mussten neue Algorithmen entwickelt werden, um die benötigten Eigenschaften effizient zu ermitteln.Dieses Projekt wurde mit dem Kooperationspartner DESY (Deutsches Elektronen-Synchrotron), ein führendes Institut in der Forschung der Elementarteilchenphysik, durchgeführt. Die erhaltenen Ergebnisse und die laufenden Berechnungen basierend auf unseren Computeralgebra Technologien werden z.B. bei den Präzisionsmessungen von HERA (Hadron Electron Accelerator, DESY) und vom LHC (Large Hadron Collider, CERN) ihre Anwendung finden.