Fraktale, Ziffernentwicklungen, Wörter und zufällige Strukturen

Das Projekt ,,Fraktale, Ziffernentwicklungen, Wörter und zufällige Strukturen`` liegt im Schnittbereich mehrerer Gebiete der Mathematik. Der erste Teil ist Fraktalen gewidmet: dem Sierpinski carpet und Verallgemeinerungen dessen, sowie limiting net sets. Letztere wurden von der Bewerberin eingeführt und haben die Eigenschaft, in einem gewissen Sinne ,,gut verteilt`` zu sein. Sie können auch als Zufallsfraktale oder verallgemeinerte Sierpinski carpets betrachtet werden. Im Falle der limiting net sets sind wir unter anderem an topologischen und fraktalgeometrischen Eigenschaften interessiert, geodätischen Distanzen zwischen Punkten, Perkolation, Eigenschaften der Porenstruktur im Kontext der Modellierung poröser Materialen mit verallgemeinerten Sierpinski carpets. Weiters betrachten wir Verallgemeinerungen der net sets und Erweiternungen der bisheringen Resultate. Der zweite Teil betrifft Ziffernentwicklingen, Zufallswörter und Verbindungen zwischen diesen. Wahrscheinlichkeitsmaße, die auf dem Einheitsintervall induktiv definiert sind und mit dem Studium arithmetischer Funktionen verbunden sind, wie das multinomiale Maß und das Gray code Maß, induzieren Verteilungen auf Mengen von Wörtern, einschließlich solcher, die Ziffernentwicklungen mit verbotenen Ziffern entsprechen. Ein Ziel ist die Erweiterung der Resultate, die über diese Maße (von der Bewerberin oder von anderen Autoren) schon erhalten wurden, und Verallgemeinerungen davon zu studieren. Wir beabsichtigen, diese Art von Konstruktionen auch in höheren Dimensionen anzuwenden, und Maße zu studieren, deren Träger Fraktale sind, wie z.B. manche der Fraktale die im ersten Teil studiert werden. Andere Fragestellungen betreffen Kombinatorik auf Wörtern, Hamming`sche Gewichte sowie Diskrepanzen von Punkten im Einheitsintervall, auch in Bezug auf speziellen Maße.

Die bedeutendsten Resultate des Projekts bestehen in der Entdeckung/Erschaffung neuer Familien von ebenen Fraktalen, mit besonderen topologischen und geometrischen Eigenschaften. All diese Fraktale sind im Einheitsquadrat enthalten und sind auch mit dem Sierpinski carpet verwandt. Es wurden drei verschiedene Familien davon definiert und studiert: Limit Net Sets, Labyrinthfraktale und verallgemeinerte Sierpinski Teppiche.In der Konstruktion dieser Fraktale wurden Muster verwendet, die man erhält, indem man das Einheitsquadrat in n n Quadrate mit derselben Seitenlänge teilt, manche dieser Quadrate herausschneidet (färbt) und das, was so entsteht, betrachtet.Im Falle der Limit Net Sets wurden Muster verwendet, welche eine gute" Verteilung der Löcher im Fraktal hervorrufen. Die erhaltenen Resultate zeigen wie spezielle Familien von Mustern Fraktale mit verschiedenen Zusammenhangsgraden" erzeugen. Im Allgemeinen sind Limit Net Sets nicht selbstähnlich und viele der Resultate gelten unter ziemlich uneingeschränkten Voraussetzungen. Auch die fraktale Dimension der Limit Net Sets wurde bestimmt.Die Labyrinthfraktale sind selbstähnliche Dendrite und man verwendet für Ihre Konstruktion Muster deren Graph spezielle Eigenschaften hat (z.B., dass er ein Baum ist). Es wurde gezeigt, dass unter gewissen Voraussetzungen bezüglich der Muster, der Weg (im Fraktal)zwischen zwei beliebigen Punkten des Labyrinthfraktals unendlich lang ist. Es wurden auch andere geometrischen Eigenschaften solcher Wege bewiesen.In der Definition der verallgemeinerten Sierpinski Teppiche verwendet man beliebige Muster, unendlich viele, und ohne Einschränkungen. Es wurde gezeigt, unter welchen Bedingungen (bzgl. der Muster) das Fraktal zusammenhängend ist. Auch wurde die Existenz spezieller Familien von Mustern gezeigt, welche total unzusammenhängende Teppiche erzeugen.Die oben erwähnten Resultate und die dazu verwendeten Methoden liefern neue Information z.B. für den Fall, wenn solche Teppiche als Modelle in der Theoretischen Physik verwendet werden. Deshalb wurde ich ins Ausland eingeladen, um diese Resultate theoretischen Physikern präsentieren und eine zukünftige Zusammenarbeit mit ihnen zu starten.Ein schon lange ungelöstes Problem über kürzeste Wege in Sierpinski Graphen und die geodätische Distanz zwischen Punkten des Sierpinski Dreiecks wurde auch gelöst.Bezüglich des restlichen Teils des Projektes wurden Resultate über Kombinatorik auf Wörtern, Eigenschaften von neuen auf Zifferentwicklungen bezogenen Massen im Einheitsintervall und Gray Codes (auch in Verbindung mit Fraktalen) erhalten und größtenteils auch veröffentlicht.