Zeitadaptiver Raum-Zeit-Intergrator

In vielen Industrieanwendungen der Strukturdynamik ist man daran interessiert, die Antwort eines mechanischen Systems zu einem bestimmten Zeitpunkt oder über einen bestimmten Zeitraum hinweg zu bestimmen. Eine besondere Aufgabe sind Falltestsimulationen, in denen materielle Nichtlinearitäten und Nebenbedingungen aus Gebietszerlegungsmethoden und Impaktvorgängen mit besonderem Augenmerk auf die Komplexität der Geometrie zu beachten sind. Das zu wählende Lösungsverfahren muss die beschreibenden Gleichungen effizient formulieren und lösen können, die Nebenbedingungen zuverlässig und schnell generieren (insbesondere Kontaktsuche) und eine gute Langzeitstabilität bei ausreichender Genauigkeit aufweisen. Darüber hinaus sollten die eingesetzten Teilalgorithmen robust und dahingehend selbstadaptiv sein, dass der Umfang der Nutzereingaben und damit des benötigten Wissens über die Struktur des Problems minimiert wird. In Vorarbeiten wurde ein Stabilisierungsverfahren für explizite Integratoren auf der Basis einer modalen Reduktion entwickelt und erfolgreich in industriellem Kontext eingesetzt. Das beantragte Projekt soll nun in weiterer Folge einen systematischen Ansatz zur Entwicklung effizienter Integrationsverfahren liefern, die in der Lage sind, Kollisionen so zu behandeln, dass zum einen Energieerhaltung gewährleistet ist, und zum anderen keine allzu kleinen Zeitschritte erforderlich werden. Die Forschungsarbeit soll daher zum Einen die räumliche und zeitliche Formulierung des Kontaktproblems beinhalten. Jüngst eingeführte Distanzfelder versprechen eine robuste und effiziente Ermittlung von Kontaktnebenbedingungen, allerdings ist diese Methodik bisher nur für reibungslosen Penaltykontakt von Simplexnetzen formuliert und muss entsprechend auf Reibung, allgemeine FEM und Lagrangekontakt erweitert werden. Im Bereich der Zeitintegration wurden in den letzten zwei Jahrzehnten Integratoren erforscht, die die Invarianten (Energie, Impuls, symplektische Form) unter Nebenbedingungen systematisch erhalten. Darüber hinaus gibt es einige Ansätze für diskrete Stoßgesetze. Eine bestimmte Gruppe, die Variationsintegratoren, soll als Grundlage zur Erzeugung eines expliziten Integrators verwendet werden, wobei durch glatte Übergangsbedingungen zwischen den Zeitschritten versucht werden soll, die Genauigkeit bei gleicher numerischer Effizienz zu erhöhen. Zeitadaptivität soll untersucht werden. Abschließend soll die numerische Effektivität durch lokale Zeitintegration erhöht werden, d.h., dass die einzelne Bereiche getrennt voneinander mit unterschiedlichem Zeitschritt integriert werden. Voraussetzung sind Kopplungsbedingungen zwischen diesen Zonen, die entweder schwach oder kontinuierlich im Raumzeitkontinuum formuliert werden. Die Kontaktsuche muss entsprechend umformuliert werden. Der resultierende Integrator soll für zwei Finite-Element-Typen anhand eines Industriebeispiels getestet werden.

In vielen technischen Anwendungen ist man an der Quantifizierung der Verteilung von Verschiebungen, Deformationen, Spannungen, Dehnungen und Materialversagen innerhalb einer Struktur im Laufe der Zeit interessiert. Meistens kommt dabei Simulation zum Einsatz. Während die Rechenleistung von modernen Arbeitsplätzen stetig größer wird, wächst auch die Komplexität der numerischen Modelle zur gleichen Zeit. Dies beinhaltet die Betrachtung von Nichtlinearitäten (z. B. Materialgesetze), diskontinuierliche Effekte (z.B. Stöße zwischen Körpern) oder gewünschte hohe Genauigkeiten in bestimmten Bereichen, die zu lokal sehr feinen Diskretisierungen führen. Betrachtet man verschiedene Familien von numerischen Methoden, leidet insbesondere die Effizienz von expliziten Zeitintegratoren, wenn lokal feine Netze verwendet werden. Dies ist, weil die Zeitdomäne in eine endliche Anzahl von Zeitschritten aufgeteilt wird. Für jeden Schritt wird ein Gleichungssystem gelöst. Die Anzahl der erforderlichen Zeitschritte kann sich drastisch vergrößern, wenn nur wenige sehr kleine Finite Elemente im Netz sind, da die obere kritische Zeitschrittgröße abhängig von der Größe und Steifigkeit des steifsten Oszillator im System ist. Ein Ansatz von numerischen Methoden, um dieses Problem zu umgehen, sind asynchrone Variationelle Integratoren. Sie weisen eine individuelle Schrittweite jedem räumlichen Punkt zu. Größere (und weichere) Elemente können dann mit einem viel größeren Zeitschritt integriert werden verglichen mit dem Standardansatz. Im Rahmen des Projektes wurden folgende Fortschritte im Rahmen der asynchronen Integratoren und expliziten Zeitschrittverfahren gemacht: Eine Finite-Element-Formulierung wurde entwickelt, genannt "Continuous Assumed Gradient Elemente". Sie erhöht die Genauigkeit von Finiten Elemente niedriger Ordnung bei gleicher Anzahl von Unbekannten und unwesentlicher Vergrößerung des Rechenaufwands. Insbesondere für explizite Simulationen wurde einTetraeder-Element erster Ordnung entwickelt, welches die Genauigkeit drastisch verbessert und gleichzeitig die numerische Effizienz verbessert, wenn in der expliziten Dynamik verwendet. Für den neue Finite-Elemente-Formulierung wurde eine neue Strategie entwickelt, um die Stabilität des asynchronen Zeitintegrator abzuschätzen. Neben räumlich variierenden Zeitschritten wurden zeitlich variierende Zeitschritte untersucht. Leider destabilisierten die meisten gängigen Formulierungen den asynchronen Algorithmus. Für Stöße/Kontakt wurde eine neue Strategie für die lokale Kontaktsuche basierend auf diskreten Distanzfeldern entwickelt. Ein asynchroner Kollisionsintegrator wurde entwickelt, der effizient in Verbindung mit Reibung und nodalen Zwangsbedingungen verwendet werden. Die genannten Ansätze können in bestimmten Situationen entweder die Genauigkeit oder numerische Effizienz oder beides im Vergleich zu Standard-Ansätzen verbessern.