Symplektische Geometrie für TFA und QM

Das eingereichte Projekt hat sowohl einen interdisziplinären als auch einen syngeretischen Aspekt. Auf der einen Seite soll es eine Brücke zwischen Zeit-Frequenz Analyse und symplektischer Geometrie bauen, auf der anderen Seite die Verbindungen zwischen Zeit-Frequenz Analyse und Quantenmechanik vertiefen. Unschärfeprinzipien erscheinen in der Zeit-Frequenz Analyse und in der Quantenmechanik an zentraler Stelle, da sie auf intrinsische Art und Weise mit den komplizierteren Eigenschaften von Signalen und Quantenzuständen verbunden sind. Die Diskussion von Unschärfeprinzipien ist eng mit einer Vielzahl von wichtigen Begriffen und Erkenntnissen der reinen Mathematik verbunden, zum Beispiel Heisenberggruppen, die Orbitmethode von Kirillov, oder die Spektraltheorie unbeschränkter Operatoren. Erst kürzlich hat de Gosson die symplektische Struktur des Phasenraumes mit Unschärfeprinzipien verbunden. Derartige Resultate stellen eine Verbindung zwischen Symplektischer Geometrie und Quantenmechanik her, im Speziellen mit der Schrödingergleichung. Das grundsätzliche Ziel dieses Projektes ist einen Zugang zu Unschärfeprinzipien in der Zeit-Frequenz Analyse mittels Methoden der Symplektischen Geometrie. Einerseits wollen wir einen einheitlichen Zugang zu Unschärfeprinzipien in der Zeit-Frequenz Analyse und Gabor Analysis, andererseits wollen wir Methoden der Zeit-Frequenz Analyse auf die Theorie der Schrödingeroperatoren anwenden. Die zentralen Werkzeuge in unseren Untersuchungen werden Symplektische Geometrie, metaplektische Operatoren und Modulationsräume sein. Seit ihrer Einführung im Jahre 1983 haben Modulationsräume sich als die richtige Klasse von Funktionenräumen in der Zeit-Frequenz und Gabor Analysis herausgestellt. Kürzlich haben Gröchenig und seine Koautoren (wie auch Cordero und Nicola) die Bedeutung von Modulationsräumen für das Studium von Schrödingeroperatoren entdeckt. Ein weiterer zentraler Aspekt des eingereichten Projektes ist eine Vertiefung der Verbindung zwischen Zeit-Frequenz Analyse und Quantenmechanik. Diese Möglichkeit sollte nicht verwundern, da beide Gebiete vom mathematischen Standpunkt aus praktisch dieseblen Grundstrukturen aufweisen. Wenn man die Literatur bertrachtet hat man jedoch den Eindruck, dass die Zeit-Frequenz Analyse bisher nur der ungeliebte Zwilling der Quantenmechanik in der Scientific community ist. Neuere Entwicklungen im Bereich der Signalanalyse zeigen jedoch schon eine gegenläufige Tendenz an.

Das eingereichte Projekt hat sowohl einen interdisziplinären als auch einen syngeretischen Aspekt. Auf der einen Seite soll es eine Brücke zwischen Zeit-Frequenz Analyse und symplektischer Geometrie bauen, auf der anderen Seite die Verbindungen zwischen Zeit-Frequenz Analyse und Quantenmechanik vertiefen. Unschärfeprinzipien erscheinen in der Zeit-Frequenz Analyse und in der Quantenmechanik an zentraler Stelle, da sie auf intrinsische Art und Weise mit den komplizierteren Eigenschaften von Signalen und Quantenzuständen verbunden sind. Die Diskussion von Unschärfeprinzipien ist eng mit einer Vielzahl von wichtigen Begriffen und Erkenntnissen der reinen Mathematik verbunden, zum Beispiel Heisenberggruppen, die Orbitmethode von Kirillov, oder die Spektraltheorie unbeschränkter Operatoren. Erst kürzlich hat de Gosson die symplektische Struktur des Phasenraumes mit Unschärfeprinzipien verbunden. Derartige Resultate stellen eine Verbindung zwischen Symplektischer Geometrie und Quantenmechanik her, im Speziellen mit der Schrödingergleichung. Das grundsätzliche Ziel dieses Projektes ist einen Zugang zu Unschärfeprinzipien in der Zeit-Frequenz Analyse mittels Methoden der Symplektischen Geometrie. Einerseits wollen wir einen einheitlichen Zugang zu Unschärfeprinzipien in der Zeit-Frequenz Analyse und Gabor Analysis, andererseits wollen wir Methoden der Zeit-Frequenz Analyse auf die Theorie der Schrödingeroperatoren anwenden. Die zentralen Werkzeuge in unseren Untersuchungen werden Symplektische Geometrie, metaplektische Operatoren und Modulationsräume sein. Seit ihrer Einführung im Jahre 1983 haben Modulationsräume sich als die richtige Klasse von Funktionenräumen in der Zeit-Frequenz und Gabor Analysis herausgestellt. Kürzlich haben Gröchenig und seine Koautoren (wie auch Cordero und Nicola) die Bedeutung von Modulationsräumen für das Studium von Schrödingeroperatoren entdeckt. Ein weiterer zentraler Aspekt des eingereichten Projektes ist eine Vertiefung der Verbindung zwischen Zeit-Frequenz Analyse und Quantenmechanik. Diese Möglichkeit sollte nicht verwundern, da beide Gebiete vom mathematischen Standpunkt aus praktisch dieseblen Grundstrukturen aufweisen. Wenn man die Literatur bertrachtet hat man jedoch den Eindruck, dass die Zeit-Frequenz Analyse bisher nur der ungeliebte Zwilling der Quantenmechanik in der Scientific community ist. Neuere Entwicklungen im Bereich der Signalanalyse zeigen jedoch schon eine gegenläufige Tendenz an.