Klassifikationsprobleme der Gruppen-Analyse

Klassifikationsprobleme sind ein zentrales Thema der Gruppenanalyse von Differentialgleichungen. Sie motivierten bereits Sophus Lie selbst zur Entwicklung seiner Theorie der kontinuierlichen Gruppen und der Lie Algebren. Das Studium von Klassifikationsproblemen in Familien von Differentialgeichungen führte außerdem zur Entwicklung der modernen Theorie der Gruppenanalyse. Für solche Problemstellungen wurden diverse Methoden entwickelt. Einige davon wurden in Computeralgebrasystemen implementiert. Dennoch sind wichtige Klassen von Differentialgleichungen derzeit einer Gruppenanalyse mit konventionellen Methoden nicht zugänglich. Um die Anwendbarkeit dieser Theorie zu erweitern müssen neue Methoden und neue Sichtweisen entwickelt werden. Das Ziel des vorliegenden Projektes ist es, diese neuen Zugänge zu schaffen. Unsere Untersuchungen stützen sich auf das gleichnamige Vorgängerprojekt (ein Lise Meitner Projekt). Auch weiterhin stehen grundlegende Konzepte und Algorithmen von Gruppen-Klassifikationsproblemen im Vordergrund. Ergänzt werden sie durch diverse weitere Konzepte (Conditional und Potential Symmetries, Reduktionsoperatoren, exakte Lösungen, Erhaltungssätze, etc.) Unsere Forschung wird sich auf geeignete Äquivalenzrelationen in Klassen von Differentialgleichungen gründen, sowie auf den Begriff der normalisierten Klasse. Besondere Aufmerksamkeit werden wir mathematischen Modellen der Meteorologie widmen. Ein wichtiger Teil des Projektes beschäftigt sich mit algebraischen Problemen der Gruppenanalyse von Differentialgleichungen, insbesondere der Realisierung, Kontraktion und Invariantentheorie von Lie Algebren. So soll der bereits entwickelte Algorithmus zur Realisierung von Lie Algebren verbessert werden. Die Beschreibung von Realisierungen von Lie Algebren bildet die Grundlage zur Lösung des Klassifizierungsproblems in normalisierten Klassen von Differentialgleichungen. Ein neuer Zugang zur Berechnung von Invarianten (verallgemeinerte Casimir Operatoren) von Lie Algebren, basierend auf der Methode der Moving Frames von Cartan, soll auf neue Klassen von Lie Algebren ausgedehnt werden. Forschungsziele in diesem Bereich sind die Entwicklung von notwendigen Bedingungen für Kontraktionen und die Bereitstellung von für die Weiterentwicklung der Theorie relevanten Beispielen. Diese algebraischen Probleme haben direkte Bezüge zur Gruppenanalyse. Verallgemeinerte Casimiroperatoren haben zahlreiche Anwendungen in verschiedenen Gebieten der Mathematik und Physik gefunden, in denen Lie Algebren eine Rolle spielen (Darstellungstheorie, Integrabilität von Hamiltongleichungen, Quantenzahlen, etc.). Eigentliche Kontraktionen von Lie Algebren mit physikalischer Relevanz eröffnen die Möglichkeit, singuläre Grenzübergänge zwischen den entsprechenden Theorien vorzunehmen. Das bekannteste Beispiel ist der Übergang von relativistischer zu klassischer Mechanik mit den zugrunde liegenden Poincare bzw. Galileigruppen, wenn die Lichtgeschwindigkeit gegen Unendlich strebt. Dieser Prozess führt auch zum Übergang der Poincare Algebra in die Galileialgebra. Ein weiteres Beispiel ist der Übergang von Quantenmechanik zu klassischer Mechanik bei Verschwinden der Planckkonstante. Dies wird reflektiert in der Kontraktion der Heisenbergalgebren zu den abelschen Algebren. Es ist eines der Ziele dieses Projektes, das mathematische Verständnis solcher Prozesse zu erhöhen.

Das Hauptziel dieses Projekts war eine grundlegende Untersuchung und Weiterentwicklung fundamentaler Konzepte und Algorithmen der Gruppenklassifikation von Differentialgleichungen. Diese Untersuchungen basierten auf der zentralen Begrifflichkeit von normalisierten Klassen sowie Äquivalenzrelationen in Klassen von Differentialgleichungen. Eine Vielzahl neuer Konzepte wurde eingeführt, wie z.B. schwach normalisierte Klassen, das Äquivalenzgruppoid und vollständige und partielle vorläufige Gruppenklassifikation. Die Methode der vorläufigen Gruppenklassifikation wurde rigoros definiert, verbessert und auf die algebraische Methode der Gruppenklassifikation zurückgeführt. Eine neue Variante der algebraischen Methode zur Bestimmung der vollständigen Punktsymmetriegruppe von Differentialgleichungen wurde vorgeschlagen. Um die Leistungsfähigkeit der algebraischen Methode zu zeigen fanden wir die vollständige Lösung eines zwanzig Jahre alten Problems der Gruppenklassifikation einer Klasse nichtlinearer Wellengleichungen mit Anwendungen in der Elastizitätstheorie. Weiters wurden die Lie-Symmetrien einer Vielzahl anderer Klassen von Differentialgleichungen mit zahlreichen Anwendungen klassifiziert. Diese Hauptforschungslinie wurde durch die Klassifikation einer Mannigfaltigkeit anderer Objekte mit Bedeutung für Differentialgleichungen (bedingte Symmetrien, Reduktionsoperatoren, exakte Lösungen, Erhaltungssätze, Potentialsymmetrien, etc.) ergänzt. Erhaltungssätze von (1+1)-dimensionalen Evolutionsgleichungen zweiter Ordnung wurden vollständig bis auf Kontaktäquivalenz beschrieben. Wir haben außerdem bewiesen dass die Charakteristiken von Potential-Erhaltungssätzen genau dann ausschließlich von den lokalen Variablen abhängen, wenn diese von lokalen Erhaltungsätzen induziert werden. Aus diesem Grund müssen die Charakteristiken von echten Potential-Erhaltungssätzen wirklich von den Potentialvariablen abhängen. Die Einführung der Begriffe der regulären und singulären Reduktionsmoduln gestattete uns die Erweiterung von Ausschlusskriterien für nichtklassische Symmetrien von (1+1)-dimensionalen Evolutionsgleichungen beliebiger partiellen Differentialgleichungen. Reduktionen von Differentialgleichungen zu algebraischen Gleichungen sowie zu gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung wurden in diesem Zusammenhang im Detail untersucht und die entsprechenden Ausschlusstheoreme wurden bewiesen. Besondere Aufmerksamkeit wurde der Anwendung der Gruppenanalyse auf meteorologische Modelle zuteil. Parallel zur Untersuchung spezifischer meteorologischer Gleichungen stellten wir eine allgemeine Verbindung zwischen invarianten Parameterisierungsschemata und Gruppenklassifikation her. Weiters entwickelten wir konservative Parameterisierungen und invariante konservative Parameterisierungen. Unter Verwendung der mimetischen Methode der Diskretisierung konstruierten wir invariante und konservative numerische Schemata für die Flachwassergleichungen. Diese Diskretisierungen sind ein erstes Beispiel invarianter numerischer Schemata für ein Differentialgleichungssystem in mehreren Dimensionen. Ein weiterer wichtiger Teil dieses Projekts waren algebraische Probleme in Verbindung mit der Gruppenanalyse von Differentialgleichungen, insbesondere Kontraktionen von Lie-Algebren. Man kann sagen dass sich Grenzübergänge zwischen physikalischen Theorien in Grenzübergängen (so genannten Kontraktionen) zwischen den zugrundeliegenden Symmetriegruppen sowie den assoziierten Lie-Algebren widerspiegeln. Die einfachste Art eine Algebra zu kontrahieren (so genannte generalisierte Inönü-Wigner Kontraktionen) ist die Wahl einer Basis, Skalierung der Basiselemente und die Betrachtung des Grenzübergangs der transformierten Lie-Klammern. Allerdings können nicht alle Kontraktionen auf diese Weise realisiert werden. Wir haben alle Kontraktionen zwischen vierdimensionalen Lie-Algebren gefunden, die nicht mittels generalisierten Inönü-Wigner Kontraktionen erfasst werden können und vier ist die niedrigste Dimension in der solche Kontraktionen existieren. Die Beschreibung von generalisierten Inönü-Wigner Kontraktionen von vierdimensionalen Lie-Algebren wurde durch die Bestimmung der niedrigsten Ganzzahlexponenten solcher Kontraktionen fertig gestellt.