Simmulation stark korrelierter Systeme

Ein tieferes Verständnis der Eigenschaften von komplexen Systemen ist von fundamentalem Interesse in der Physik, aber auch in anderen Wissenschaftszweigen. Stark korrelierte Mehrteilchensysteme sind wichtige Beispiele solch komplexer Systeme, deren analytische Lösung aber nur in einfachen Spezialfällen möglich ist. Auch eine numerische Behandlung ist im Allgemeinen schwierig, da die benötigte Parameteranzahl zur exakten Beschreibung exponentiell mit der Anzahl der Teilchen steigt. Die bisher entwickelten Simulationsmethoden, allen voran Quanten-Monte-Carlo und die sog. Dichtematrix-Renormalisierungsgruppe (DMRG), liefern zwar in vielen Fällen sehr genaue Resultate, sind aber in Ihrer Einsatzmöglichkeit überwiegend auf nicht-frustrierte, bosonische System bzw. Eindimensionale System beschränkt. Viele relevante Probleme, wie etwa Hochtemperatur-Supraleitung oder den magnetischen Eigenschaften von Festkörpern, sind daher bis heute nicht vollständig verstanden. Unser Ziel ist es, neue Methoden zur klassischen Simulation von komplexen Systemen zu entwickeln, für die diese Limitierungen nicht gelten. Insbesondere wollen wir die Simulation von Grundzuständen, von Zeitentwicklungen und von thermischen Zuständen betrachten. Unsere Ansätze sind durch Einsichten in die Verschränkungseigenschaften von Mehrteilchensystemen motiviert, wobei wir versuchen wollen, die Stärken von verschiedenen Methoden durch deren Kombination zu vereinigen. Als erstes Beispiel sollen Matrixproduktzustände (MPS) - welche die Basis für DMRG darstellen- mit gewichteten Graphenzuständen (WGS) -eine Klasse von Vielteichenzuständen mit vielfältigen Verschränkungseigenschaften, die wir kürzlich eingeführt haben- kombiniert werden. Die begrenzte Anwendbarkeit von MPS auf 2D Systeme kann durch deren limitierte Verschränkung verstanden werden, während WGS beliebig stark verschränkt sein können Wir werden dann kürzlich eingeführte, vielversprechende Verallgemeinerungen von MPS betrachten, allen voran Tensorbäume und 2 dimensionale Tensornetzwerke (PEPS, MERA). Wir wollen eine mögliche Kombination mit WGS, die Verschränkungseigenschaften der verschiedenen Zustände sowie eine Verbesserung und Erweiterung der zugehörigen Variationsmethoden untersuchen. Die entwickelten Methoden sollen dann zur Simulation von Quanten- und klassischen Spinmodellen, sowie bestimmten Quantenalgorithmen verwendet werden. Die mögliche Verwendung von Monte-Carlo Sampling Methoden soll ebenso untersucht werden, wie neue Methoden zur Quantensimulation basierend auf den oben erwähnten klassischen Ansätzen.

Ein tieferes Verständnis der Eigenschaften von komplexen Systemen ist von fundamentalem Interesse in der Physik, aber auch in anderen Wissenschaftszweigen. Stark korrelierte Mehrteilchensysteme sind wichtige Beispiele solch komplexer Systeme, deren analytische Lösung aber nur in einfachen Spezialfällen möglich ist. Auch eine numerische Behandlung ist im Allgemeinen schwierig, da die benötigte Parameteranzahl zur exakten Beschreibung exponentiell mit der Anzahl der Teilchen steigt. Die bisher entwickelten Simulationsmethoden, allen voran Quanten-Monte-Carlo und die sog. Dichtematrix-Renormalisierungsgruppe (DMRG), liefern zwar in vielen Fällen sehr genaue Resultate, sind aber in Ihrer Einsatzmöglichkeit überwiegend auf nicht-frustrierte, bosonische System bzw. Eindimensionale System beschränkt. Viele relevante Probleme, wie etwa Hochtemperatur-Supraleitung oder den magnetischen Eigenschaften von Festkörpern, sind daher bis heute nicht vollständig verstanden.In diesem Projekt konnten wir neue Methoden zur klassischen Simulation von komplexen Systemen zu entwickeln, für die diese Limitierungen nicht gelten. Unsere Methoden basieren auf (verschachtelten) Tensornetzwerken, welche auch mit gewichteten Graphenzuständen kombiniert werden können. Dadurch ist es möglich die Stärken der verschiedenen Ansätze zu kombinieren und einige der Limitierungen, insbesondere in Hinblick auf die Verschränkung der Zustände, zu überwinden. Dabei haben wir insbesondere Methoden entwickelt, mit denen Grundzustände und Zeitentwicklung von 1D und 2D Quantensystemen mit langreichweitigen Wechselwirkungen behandelt werden können. Als wichtiges Werkzeug dient dabei die (optimale) Darstellung von Operatoren mit Hilfe von Tensornetzwerkoperatoren. Insbesondere wurde ein Algorithmus zur Behandlung von unendlichen 1-dimensionsionalen Systemen mit gebrochener Translationsinvarianz entwickelt, welchen wir erfolgreich zur Erforschung von Phasendiagrammen sowie Entropieskalierung von Rydbergatomen und polaren Bosonen anwenden konnten. Die entwickelten Simulationsmethoden sind allerdings nicht auf die Behandlung von Grundzuständen und unitärer Dynamik beschränkt. In der Tat haben wir diese Methoden erweitert und angepasst, und zur Erforschung der Verschränkungseigenschaften von Vielteilchen-Quantensystemen unter Dekohärenz und Rauschen eingesetzt. Dabei konnten wir die Existenz von stabilen, makroskopischen Überlagerungszuständen zeigen, welche ihre besonderen Quanteneigenschaften auch in einer verrauschten Umgebung behalten.Darüber hinaus haben wir sowohl einen Quantensimulator, als auch einen neuen Quantenalgorithmus zur Behandlung von klassischen Spinsystemen vorgeschlagen. Dadurch konnten wir zeigen, dass die (approximative) Berechnung der Zustandssumme von klassischen 2D Systemen in einem bestimmten Parameterbereichen gleich schwierig ist wie die Simulation eines universellen Quantencomputers.