Kombinatorische Eigenschaften zufälliger Mosaike

Ein Mosaik ist eine lokalendliche Unterteilung des reellen Raumes in beschränkte und konvexe Polytope. Zufällige Mosaike haben das ganze letzte Jahrhundert über großes Interesse auf sich gezogen und wurden in den letzten zwanzig Jahren aufgrund vielfältiger Anwendungen in so verschiedenen Gebieten wie Biologie, Materialwissenschaften, Medizin oder Telekommunikation immer wichtiger. Unter der großen Anzahl heute untersuchter Modelle sind Poissonsche Hyperebenenmosaike und Poisson-Voronoi-Mosaike von entscheidender Bedeutung und stehen im Mittelpunkt dieses Projekts. Eines der Hauptprobleme auf diesem Gebiet ist die Untersuchung der Form zweier ausgezeichneter Zellen, nämlich der sogenannten typischen Zelle und der Zelle, die den Urpsrung enthält. Anfang der vierziger Jahren des zwanzigsten Jahrhunderts hat David Kendall zum ersten Mal seine berühmte Vermutung formuliert, dass die Formverteilung extremaler Zellen eines Mosaiks unter der Bedingung, dass die Fläche der Zelle groß ist, schwach gegen die auf der Kreisform konzentrierte Verteilung konvergiert; aber erst in den letzten Jahren konnte dieses Frage erfolgreich von Kovalenko und Hug, Schneider und Reitzner behandelt werden. Dabei wurde in allen Fällen die Größe der Zellen durch metrische Funktionale wie zum Beispiel Volumen gemessen. Im Rahmen dieses Projektes soll nun der wichtige Fall von Zellen mit einer großen Anzahl von Ecken oder Seiten behandelt werden: Konvergiert die Formverteilung einer extremalen Zelle unter der Bedingung, dass die Anzahl ihrer Seiten (Ecken) groß ist, schwach gegen eine degenerierte Verteilung? Als erstes sollen deshalb die Mittelwerte kombinatorischer Charakteristika der Nullzelle und der typischen Zellen eines Poissonschen Hyperbenenmosaiks und eines Poisson-Voronoi-Mosaiks betrachtet werden; daran anschließend sind Verteilungseigenschaften dieser Größen zu untersuchen, und in einem dritten Schritt sollen die so gewonnen Informationen benutzt werden, um neue Erkenntnisse über das Verhalten von Zellen mit einer großen Zahl an Ecken oder Seiten zu erhalten.