Isogeometric Methoden für Partielle Differentialgleichungen

Isogeometric (IG) Analysis ist ein neuer Zugang zur numerischen Lösung partieller Differential-gleichungen (PDE) aus verschiedensten Bereichen der technischen sowie Naturwissenschaften. Dieser weist viele Parallelen mit der herkömmlichen Finite Elemente Methode (FEM) auf, stützt sich aber auch auf Konzepte sogenannter "netzfreier" Methoden und kann somit als echte Verallgemeinerung der Methode der Finiten Elemente betrachtet werden. Basierend auf sogenannten non-uniform rational B-Splines (NURBS), einer Standardtechnologie aus dem Bereich von Computer Aided Design (CAD) Systemen, werden gebräuchliche Geometrien wie Kreis, Zylinder, Kugel, Ellipsoid etc. exakt dargestellt, was eine genauere Beschreibung und Modellierung komplexer Geometrien ermöglicht. In diesem Ansatz wird die Geometrie auf der Ebene der gröbsten Diskretisierung exakt erhalten. Zur Erhöhung der Genauigkeit wird die entsprechende Basis - unter Beibehaltung der ursprüngliche Geometrie - verfeinert (vergrößert) und/oder die Ordnung der Ansatzfunktionen erhöht. Neben klassischer h- und p- Verfeinerung, analog zu FEM, gibt es hier auch eine sogenannte k-Verfeinerung, welche die Glattheit der Ansatzfunktionen erhöht. Daraus resultieren letztendlich genauere und robustere Approximationen als die im Falle der im Zusammenhang mit FEM üblichen p-Verfeinerung erhaltenen. Diese Methodik eröffnet ein großes Forschungsgebiet. Im Rahmen des vorgeschlagenen Projekts sollen folgende Fragestellungen bzw. Themenschwerpunkte erforscht werden: (1) Entwicklung von Dreiecks- und Tetraeder IG Elementen und IG hierarchischen Basen, (2) lokale Verfeinerungsstrategien und entsprechende unstrukturierte Vernetzungstechniken und IG Netzgeneratoren, und (3) Entwicklung robuster iterativer Lösungsmethoden von optimaler Komplexität für die auftretenden diskreten Systeme (linearen Gleichungssysteme).

Kunden, die ein Produkt kaufen, erwarten ein Produkt mit bestmöglichem Wert, und sie erwarten, dass das erworbene Produkt gewisse Garantievorgaben erfüllt. Dieser Richtlinie folgt auch das vorliegende wissenschaftliche Projekt, dessen Ziel die Entwicklung genauer, schneller und zuverlässiger Simulationsmethoden war. In vielen technischen Anwendungen, beispielsweise bei der Modellierung eines Kraftfahrzeugs, treten auf ein und demselben Objekt sowohl Gebiete mit glatten Oberflächen auf, als auch detailliertere und kompliziertere Bereiche. Zur Darstellung solcher Gegenstände wurde über die vergangenen fünf Jahrzehnte aktiv auf dem Feld der computergestützten Modellierung geforscht. Die Methoden der numerischen Simulation haben sich in diesem Zeitraum in eine andere Richtung und unabhängig von der Geometriemodellierung entwickelt. Obwohl das Zusammenspiel von Geometrie und numerischer Simulation in der Produktentwicklung unverzichtbar ist, haben die unterschiedlichen verwendeten Approximationsmethoden dazu geführt, dass dieses Zusammenspiel mitunter sehr zeit- und arbeitsaufwändig ist. Weiters wurde in vielen Studien beobachtet, dass eine mangelhafte Approximation der Geometrie negative Auswirkungen auf die Genauigkeit der numerischen Ergebnisse haben kann. Als Ausweg aus dieser Situation wurde 2005 von Prof. Hughes und seinen KollegInnen die Zusammenführung dieser Forschungsfelder vorgeschlagen. Das Potential dieser Methode und ihre Überlegenheit in bestimmten Anwendungsgebieten wurde inzwischen in zahlreichen Studien bestätigt.Eines des Hauptziele, das im Rahmen dieses Projekts erreicht wurde, ist die Entwicklung von robusten und schnellen Lösern für große Matrizensysteme (algebraische Gleichungen), die sich aus dieser neuen Diskretisierungsmethode (der Darstellung und Lösung eines an sich unendlich-dimensionalen Problems an endlich vielen Darstellungspunkten) ergeben. Grob gesprochen benötigt die hier entwickelte Methode einen Aufwand, der proportional mit der Größe des Problems wächst, während naive Ansätze deutlich aufwändiger sind (proportional zur zweiten oder dritten Potenz der Problemgröße).Ein weiteres bedeutendes Resultat dieses Projekts ist die Methode zur Fehlerschätzung, die scharfe und garantierte Schranken für den Fehler in numerischen Berechnungen liefert. In der Vergangenheit kam es leider bereits zu schweren Unfällen, die hätten verhindert werden können, wenn derartige Fehlerschätzer bereits entwickelt und zum Einsatz gekommen wären.