Approximation in der stochastischen Optimierung

Projektziel ist die Erforschung von Approximationen von mehrperiodischen stochastischen Optimierungsproblemen, wie sie im Finanzmanagement, im der Energie und Ressourcenplanung, im Supply Chain Management und anderen Gebieten der Entscheidungsfindung bei Unsicherheit auftreten. Die engeren Ziele sind (1) eine neues Konzept der Distanzen (nested distances) für mehrperiodische, stochatische Optimierungaufgaben zu studieren, deren Eigenschaften zu erforschen sowie Methoden der effizienten numerischen Berechnung dieser Distanzen zu entwickeln, (2) gute Schranken für den Fehler zwischen dem Optimalwert des Originalproblems und jenem des approximativen Problems zu finden, (3) ebenso Schranken fr den Fehler in den Entscheidungsfunktionen zu finden, wobei der Restiktions und ein Extensionsoperator eine wichtige Rolle spielen, (4) die Resultate zur Entwicklung von guten Methoden zur Szenariengenerierung einzusetzen. Es ist geplant, auf Basis der Ergebnisse Software zu implementieren, die den Approximationsfehler quantifizieren kann und die auch neue Algorithmen zur Szenariengenerierung enthält.

Mehrstufige Stochastische Optimierung ist die namhafte Methode für die Entscheidungsprozesse unter Bedingungen von Ungewissheit, der Anwendungen unter Finanz- und Investitionsplanung, Energieproduktion und -handel, Supply-Chain-Management sowie ähnliche Gebiete sind. Allerdings konnte die theoretische Lösung der mehrstufigen stochastischen Optimierungsprobleme nur in der einfachsten Situationen gefunden werden, aufgrund der komplizierten funktionalen Form von Problemen. Deshalb ist es notwendig solche Probleme mit numerischen Approximationstechniken zu lösen. In dieser Arbeit forschen wir die Approximationstechniken, die herausfordernde, wichtige und oft unersetzliche Lösungsmethoden für mehrstufige stochastische Optimierungsprobleme sind. Ein wesentlicher Bestandteil von mehrstufigen stochastischen Optimierungsproblemen ist der Umfang der je Stufe zu verfügbaren Information: obwohl es unmöglich ist, zukünftige Werte von stochastischen Prozessen vorherzusagen, ist es nötig so viele Informationen wie möglich zu finden, um eine bessere Entscheidung zu treffen. Während einige Autoren diesen Aspekt über Filtrations Distanzen berücksichtigen, verwenden wir in dieser Arbeit das Konzept von der nested-distributions und deren Distanzen. Diese Herangehensweise erlaubt uns einen rein verteilungsbasierten Zugang zu wählen und dabei gleichzeitig die stufenweise Informationsenthüllung und Nebenbedingungen an diese Information einzuführen. Wir führen die Distanz zwischen einem stochastischen Prozess und einem Baum ein und verallgemeinern das Konzept der nested-distance für den Fall von unendlichen Bäumen, d.h. für den Fall von zwei stochastischen Prozessen gegeben durch ihre stetigen Verteilungen. Eine neue Methode zur Verteilungs-Quantisierung wird eingeführt. Diese berücksichtigt sowohl den stochastischen Prozess, als auch die Information je Stufe. Die zentralen Probleme, die in dieser Arbeit behandelt werden, sind: Szenariogenerierung Um zukünftige Szenarios zu generieren, müssen wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Prozesse wissen und die Methode haben, mit der Punkte von der Wahrscheinlichkeitsverteilung selektiert werden können. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann von historischen Daten gefunden werden. Allerdings gibt es mehrere Methoden um Punkte zu selektieren (z.B. Monte Carlo, optimale Quantisierung), aber keine von denen wurde für mehrstufige stochastische Probleme entwickelt. Die stufenweise Minimierung der Kantorovich Distanz liefert uns ein wohlbekanntes Ergebnis für die optimale Quantisierung der Verteilungen in jeder Stufe. Allerdings bedeutet dieses Resultat nicht dass die nested-distance zwischen den ursprünglichen und den approximierten Problemen minimiert wird. Das Ziel dieser Arbeit ist zu zeigen, dass die Quantizer, die aus der Minimierung der nested-distance stammen, besser sind (im Sinn der minimalen Distanz) als die Quantizer aus der stufenweisen Minimierung der Kantorovich Distanz und eine neue Quantisierungsmethode zu entwickeln, die besser für die mehrstufige stochastische Probleme ist. Berechnungseffizienz Bei der numerischen Ermittlung der nested-distance ist die Frage der Effizienz für die Berechnung von Interesse. Der Grad der Knoten (bushiness) des Szenarienbaumes ist entscheidend für die Qualität der Approximation und die Effizienz der Berechnung. Ein Kompromiss sollte dafür gefunden werden. Anwendungen Stochastische Optimierung hat eine große Zahl von Anwendungen. In dieser Arbeit konzentrieren wir uns auf die Anwendungen in den Bereichen des Risikomanagements von Naturgewalten. Ein wesentlicher Teil von Belastungen und Risiken in der Gesellschaft und ihrer Umwelt wird durch katastrophale Ereignisse verhängt. Diese Belastungen und Risiken können durch die Entwicklung einer mehrstufigen Strategie reduziert werden, die die Belastbarkeit und Widerstandsfähigkeit der Gesellschaften zu Katastrophen anpasst. Deshalb ist die Forschung der optimalen Strategien für das Risikomanagement von Katastrophen für Menschen auf internationalen, nationalen und lokalen politischen Ebenen motiviert.