Kompakte Abzählformeln für verallgemeinerte Partitionen

Das Abzählen der Elemente in endlichen Mengen ist eines der ältesten und fundamentalsten Probleme der Mathematik. Es liegt in der Natur der Sache, dass nur sehr wenige Abzählprobleme eine Lösung im Sinne einer einfachen expliziten Abzählformel haben. Überraschender ist jedoch, dass es KombinatorikerInnen noch immer schwer fällt vorherzusagen, ob ein Problem eine schöne Abzählformel hat oder nicht. In diesem Projekt geht es um Plane Partitions, alternierende Vorzeichenmatrizen und verwandte Objekte, deren Abzählungen immer wieder zu überraschend einfachen Abzählungformeln führen, wohingegen die entsprechenden Beweise meistens besonders aufwendig sind. Die Bedeutung dieser Objekte ist aber nicht nur in diesem Phänomen begründet sondern auch in ihrem Auftreten in den verschiedensten anderen Gebieten wie etwa der Darstellungstheorie klassischer Gruppen und der statistischen Mechanik. Wir werden unseren Zugang, der schon erfolgreich angewandt wurde um einen weiteren, elementaren Beweis der Abzählung von alternierende Vorzeichenmatrizen zu geben, weiterentwickeln um verfeinerte Abzählungen von alternierende Vorzeichenmatrizen und Symmetrieklassen davon zu untersuchen. Andererseits, da die Abzählprobleme in diesen Gebiet gewöhnlich als Abzählungen der ganzzahligen Punkte in gewissen rationalen Polytopen formulierbar sind, schlagen wir eine geometrische Sichtweise vor und werden Anwendungen der bereits existierenden Theorie der mehrdimensionalen Partitionsfunktion auf diese Probleme untersuchen. Letztlich, da die untersuchten Objekte in enger Beziehung zueinander stehen, diese Beziehungen aber längst nicht zufriedenstellend erklärt sind, werden wir systematischen nach bijektiven Erklärungen dafür suchen.