Fourier Monte Carlo Simulation elastischer Membranen

Auf Grundlage unseres kürzlich entwickelten Fourier Monte Carlo Algorithmus [A. Tröster, Phys. Rev. B 76, 012402 (2007)] schlagen wir einen neuen Zugang zur Simulation der Elastizität kristalliner und hexatischer Membranen vor. Im Detail offerieren wir drei verschiedene, aber verwandte Wege zum Studium der ``flachen`` Tieftemperaturphase, basierend auf (i) Wilson`s Impulsschalen-Renormierungsgruppenschema für endliche Impulsschalendicke, (ii) Eine Kombination von Simulationen und Methoden der feldtheoretischen Renormierung, und (iii) einer direkten Auswertung der Korrelationsfunktionen der Fourier-transformierten Einheitsnormalen der Membran unter Verwendung eines kleinen Wellenvektor-Cutoffs. Diese Berechnungen sind für das Verständnis des wichtigen Problems der Bildung von intrinsischen Oberflächenwellen in Graphen hochrelevant. Überdies sollten die Pionierarbeit der Zugänge (i) und (ii) auch von einer rein theoretischen Warte aus von höchstem Interesse sein, da sie beide nichtstörungstheoretische Renormierungsgruppenschemata darstellen.

Das vorliegende Projekt Fourier Monte Carlo Simulation elastischer Membranen hatte sich zum Ziel gesetzt, die elastischen Eigenschaften kristalliner und sog. hexatischer Membranen, deren Struktur in gewisser Weise einen Zwischenzustand beim Schmelzen einer kristallinen Membranen in eine fluide Phase darstellt, mit einer neuartigen, vom Projektleiter entwickelten Computersimulationsmethode, dem sog. Fourier Monte Carlo (FMC) Algorithmus zu untersuchen. Die quantitative Untersuchung des räumlichen Fluktuationsverhaltens solcher Membranen ist sowohl im biologischen Kontext (Zellmembranen) als auch für das Verständnis der physikalischen Eigenschaften neuartiger Nanomembranen wie Graphen von entscheidender Bedeutung. Im Grenzfall langer Wellenlängen sollten diese Fluktuationen einem sog. Skalengesetz gehorchen. Die beträchtliche Streuung der bis dato in der Literatur publizierten Werte für dessen zugehörigen Exponenten eta im Falle kristalliner Membranen illustriert jedoch die technischen und konzeptuellen Schwierigkeiten, diesen präzise zu bestimmen. Im Bereich der Computersimulation liegen die Hauptschwierigkeiten dabei auf der kombinierten Präsenz langreichweitiger Wechselwirkungen und dem sog. critical slowing down, wodurch die statistische Effizienz konventionelle Simulationen drastisch gemindert wird. In unserem Projekt konnten nun beide Schwierigkeiten durch die Implementierung einer FMC Simulation in Kombination mit einer neuen algorithmischen Optimierung beseitigt werden. Wichtig für das Gelingen war auch die Konstruktion einer auf die Möglichkeiten moderner Großrechner zugeschnittenen Parallelisierung. Damit gelang es nicht nur, den numerischen Wert für eta mit hoher Genauigkeit zu berechnen, sondern überdies erstmals sogar die führenden Korrekturen zu besagtem Skalengesetz vorherzusagen. Unsere Ergebnisse demonstrieren auch klar die Absenz einer sog. intrinsischen Welligkeit in Graphen, deren Existenz in der Literatur lebhaft diskutiert wird. Dieser Erfolg beruht auch auf der Kombination von FMC mit zwei unterschiedlichen, wenn auch eng verwandte Techniken. Während finite size scaling (systematische Extrapolation von für an endliche Systeme gewonnenen Ergebnissen auf unendliche Systemgröße) für Computersimulationen unverzichtbar ist, spielt das Paradigma der Renormierungsgruppe (RG), i.e. der mathematische Analyse der Abhängigkeit der Kopplungskonstanten der Theorie von der zugrunde liegenden Längenskala, in unterschiedlichsten Bereichen der modernen Physik eine überragende Rolle. Unsere Ergebnisse zeigen, dass die Kombination von RG und FMC Ergebnisse bei Problemen liefern kann, an denen alle andere Zugänge bisher gescheitert waren. Für hexatische Membranen in der sog. crinkled phase legen unsere Resultate ein logarithmisches Verhalten der Fluktuationen nahe, endgültige Schlussfolgerungen über den numerischen Wert von eta müssen jedoch zukünftigen Untersuchungen vorbehalten bleiben.