Monadische Gödel-Logiken

Die Familie der Gödellogiken ist eine der wichtigsten Familien mehrwertiger Logiken. Sie sind zugleich intermediäre Logiken (d. h. Logiken zwischen klassischer und intuitionistischer Logik) und wichtige Beispiele für FuzzyLogiken. Der Begriff der FuzzyEigenschaft wurde von Lotfi Zadeh 1965 entwickelt um unscharfes Schließen zu formalisieren, er ist jetzt Grundlage zahlreicher Anwendungen. Obwohl das vorliegende Projekt von mathematischer Natur ist, sollen die Ergebnisse zur Kalibrierung des wichtigsten diagnostischen Expertensystems am AKH Wien dienen. FuzzyLogiken ermöglichen im Allgemeinen, dass Propositionen nicht nur 1 für wahr und 0 für falsch annehmen können, sondern auch alle Werte zwischen 0 und 1, um so relative Falschheit und relative Wahrheit auszudrücken. In Gödellogiken hängt die Bedeutung dieser Zwischenwerte nur von ihrer Ordnung ab. Kurt Gödel hatte seinerzeit diese Logiken eingeführt, um die Existenz unendlich vieler Logiken zwischen intuitionistischer und klassischer Logik zu beweisen. Das vorliegende Projekt widmet sich insbesondere der Klassifizierung des monadischen Fragments der Gödellogiken erster Ordnung. Diese Unterklasse entsteht durch Beschränkung auf einstellige Prädikate und stellt das wichtigste Fragment der Sprache der Prädikatenlogik dar. Hauptziel ist es, Entscheidbarkeit bzw. Unentscheidbarkeit für Gültigkeit und Erfüllbarkeit für das monadische Fragment der unterschiedlichen Gödellogiken nachzuweisen, sowie für die eng damit verwandten Fragmente, die mit nur einer bzw. zwei Variablen beschrieben werden können. In diesem Zusammenhang soll auch die mit den genannten Problemen zusammenhängende Frage nach der Entscheidbarkeit der Gültigkeit im monadischen Fragment der ukasiewiczLogik beantwortet werden. Das ist das wichtigste offene mathematische Problem auf dem Gebiet der FuzzyLogiken.

Das monadische Fragment der Prädikatenlogik ist eines der wichtigsten Fragmente. Es drückt z.B. die Syllogismen von Aristoteles und die meisten regelbasierten Systeme aus. In der klassischen Logik ist dieses Fragment entscheidbar und Gegenstand intensiver Forschungen, da es für die Anwendungen der Logik von großer Bedeutung ist.In diesem Projekt wurde das monadische Fragment der Gödel Logiken untersucht.Die Gödel Logiken sind eine wichtige Klasse von intermediären Logiken, die mit dem unscharfen Schließen in Verbindung stehen. Sie werden durch abgeschlossene Teilmengen des [0; 1] Intervalls definiert, die 0 und 1 enthalten.Das Projekt unterschied zwischen dem Problem der Gültigkeit und dem Problem der Erfüllbarkeit, da diese bei nicht klassischen Logiken nicht dual sind.Es wurde eine vollständige Klassifizierung erreicht:1. Das monadische Fragment aller endlichwertigen Gödel Logiken ist entscheidbar (sowohl was Gültigkeit, als auch Erfüllbarkeit betrifft).2. Das monadische Fragment aller unendlichwertigen Gödel Logiken ist unentscheidbar (mit Bezug auf Gültigkeit).3. Das monadische Fragment unendlichwertiger Gödel Logiken ist entscheidbar dann und nur dann, wenn 0 isoliert in der Wahrheitsmenge ist (mit Bezug auf Erfüllbarkeit).