Schnelle BEM im Zeitbereich

Wellenausbreitungsvorgänge sind insbesondere in halbunendlichen Medien wie z.B. im Boden von großem Interesse. Anwendungen in visko- oder poroelastischen Materialien sind in der Geotechnik zu finden. Durch die korrekte Modellierung des Abstrahlverhaltens von Wellen ins Unendliche eignet sich die Randelementmethode (BEM) besonders zur Simulation solcher Vorgänge. Dabei ist eine Formulierung im Zeitbereich vorteilhaft, da dann die Wellen in der Simulation direkt beobachtet werden können. Eine gewöhnliche BEM-Formulierung im Zeitbereich erfordert die Berechnung und Speicherung der Systemmatrizen für jeden Zeitschritt. Dies entspricht einem n-fachen Aufwand gegenüber einer statischen Rechnung, wenn n die Anzahl der Zeitschritte ist. Vor allem inelastische Materialien mit Dämpfung (visko- oder poroelastisch) erlauben kein Abschneiden der Systemmatrix von einem bestimmten Zeitschritt an, wie es in einer 3- d Formulierung im Elastischen möglich ist. Daher müssen Techniken entwickelt werden, die nicht nur eine effektive Berechnung und Speicherung der Matrizen bezüglich der Ortsvariable ermöglichen, sondern auch die Effektivität in der Zeitachse verbessern. Leider sind die Orts- und Zeitvariablen in den retardierten Potentialen der entsprechenden Integralgleichung miteinander verknüpft, so dass eine entkoppelte Betrachtung sehr schwierig ist. Weiterhin sind schnelle BE- Verfahren für die eine analytische Kernentwicklung notwendig ist nicht geeignet, da im Fernziel auch so komplizierte Kerne wie die der Visko- und Poroelastizität behandelt werden sollen. Daher werden sogenannte Black-Box`-Verfahren, wie die Adaptive Cross Approximation (ACA) und eine Variante des Panel Clusterings mit einer Kerninterpolation in diesem Projekt zum Einsatz kommen. Schlussendlich müssen auch schnelle Löser der dann dünnbesetzten Systeme mit geeigneten Vorkonditionieren gefunden werden.

Wellenausbreitungsvorgänge sind insbesondere in halbunendlichen Medien wie z.B. im Boden von großem Interesse. Anwendungen in visko- oder poroelastischen Materialien sind in der Geotechnik zu finden. Durch die korrekte Modellierung des Abstrahlverhaltens von Wellen ins Unendliche eignet sich die Randelementmethode (BEM) besonders zur Simulation solcher Vorgänge. Dabei ist eine Formulierung im Zeitbereich vorteilhaft, da dann die Wellen in der Simulation direkt beobachtet werden können. Im vorliegenden Projekt wurde die Randelementmethode im Zeitbereich im Hinblick auf sogenannte schnelle Methoden untersucht. Dabei wurde eine Formulierung aufbauend auf Faltungsquadraturverfahren eingesetzt. Diese schnellen Methoden sind für elliptische Problemstellungen, wie sie z.B. für die Elastodynamik im Laplace- oder Fourierbereich vorliegen, gut entwickelt. Dies war die Motivation um zum Einen die Faltungsquadraturverfahren als inverse Transformation zu benutzen und zum Anderen direkt im Zeitbereich zu arbeiten. Beim Ersteren können die bekannten Techniken angewandt werden. Dies war erfolgreich, wobei eine Fast Multipole Methode (FMM) mit einer Kerninterpolation zum Einsatz kam. Die Ergebnisse des Projektes zeigen, dass dies funktioniert, jedoch erst bei sehr großen Problemstellungen der zusätzliche Aufwand der FMM sich in der Rechenzeit auszahlt. Der Speicheraufwand konnte aber auf eine annähernd lineare Ordnung reduziert werden. Die alternative Vorgehensweise, die Faltungsquadraturverfahren direkt im Zeitbereich zu benutzen wurde ebenfalls untersucht und erfolgreich verbessert. Durch den Einsatz einer Taylor-Reihenentwicklung für die Integrationsgewichte konnte die physikalisch durch die Wellenfronten vorgegebene dünne Besetztheit der Matrix realisiert werden. Eine weitere Spline-Approximation erlaubt eine beschleunigte Variante. Zusammenfassend kann gesagt werden, dass in diesem Projekt zwei Varianten einer schnellen Zeitbereichsformulierung der Randelementmethode erstellt und getestet wurden.